Question

已知：如圖，等邊△ABC的邊長是4，在等邊△ABC上再疊加一個Rt△DEF，∠DEF=90°，∠F=30°，等邊△ABC的邊BC與EF重合，頂點E與B重合，頂點A在DF上，
（1）求邊EF的長；
（2）若△ABC沿EF方向從E運動到F，速度為1m/s，時間為x秒，設Rt△DEF和等邊△ABC重合部分的面積是y，請你寫出y與x之間的函數(shù)關系式；
（3）重合部分的面積與Rt△DEF的面積的比有可能是7：24嗎？如果有可能，請求出此時x的值；如果沒有可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)△ABC是等邊三角形可知∠ACB=60°，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出∠CAF=30°，故可得出AC=CF=4，故可得出EF的長；
（2）根據(jù)速度為1m/s，時間為x秒，可知BE=x，BF=8-x，再由△ABC是等邊三角形可知∠A=60°，由∠F=30°得出∠ANM=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出BN=BF=，AN=4-BN=4-=，再根據(jù)AM=2AN表示AM，由表示出AN、AM的長可用x表示出△AMN的面積，再由y=S_△ABC-S_△AMN即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)Rt△DEF中，EF=8，∠F=30°可求出DE的長，進而根據(jù)重合部分的面積與Rt△DEF的面積的比有可能是7：24得出△DEF的面積，再由y與x的關系式即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB是△ACF的外角，∠F=30°，
∴∠CAF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°，
∴AC=CF=4，
∴EF=BC+CF=4+4=8；

（2）∵速度為1m/s，時間為x秒，
∴BE=x，BF=8-x，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵∠F=30°，
∴∠ANM=90°，
∴BN=BF=；
∴AN=4-BN=4-=，
∵由（1）知，∠AMN=∠F=30°，
∴AM=2AN=2×=x，
∴MN=x，
∴S_△AMN=AN•MN=××x=x²，
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，
∴S_△ABC=×4×2=4，
∴y=S_△ABC-S_△AMN=4-x²（0≤x≤8）；

（3）存在．
∵Rt△DEF中，EF=8，∠F=30°，
∴DE=，
∴S_△DEF=EF•DE=×8×=，
∵由（2）知，y=4-x²（0≤x≤8），
∴=，
解得x=或x=-（不合題意），
∴存在重合部分的面積與Rt△DEF的面積的比是7：24．
點評：此題考查了相似性綜合題，涉及的知識有：等邊三角形的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積求法，函數(shù)關系式的列法，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關鍵．