Question

小明在平面上標(biāo)出了2007個(gè)點(diǎn)并畫(huà)了一條直線(xiàn)L，他發(fā)現(xiàn)：這2007個(gè)點(diǎn)中的每一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，仍在這2007個(gè)點(diǎn)中，請(qǐng)你說(shuō)明：這2007個(gè)點(diǎn)中至少有1個(gè)點(diǎn)在直線(xiàn)L上．

Answer 1

證明：假設(shè)這2007個(gè)點(diǎn)都不在直線(xiàn)L上，
由于其中每個(gè)點(diǎn)A_i（i=1，2，…，2007）關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′₁仍在這2007個(gè)點(diǎn)中，
所以A′_i不在直線(xiàn)L上．
也就是說(shuō)，不在直線(xiàn)L上點(diǎn)A_i（i=1，2，2007）與A_i關(guān)于直線(xiàn)L對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A′_i成對(duì)出現(xiàn)，
即平面上標(biāo)出的點(diǎn)的總數(shù)應(yīng)是偶數(shù)個(gè)，與點(diǎn)的總數(shù)2007相矛盾，
因此，“這2007個(gè)點(diǎn)都不在直線(xiàn)L上”的假設(shè)不能成立，即這2007個(gè)點(diǎn)中至少有1個(gè)點(diǎn)在直線(xiàn)L上．
分析：首先假設(shè)這2007個(gè)點(diǎn)都不在直線(xiàn)L上，得出每個(gè)點(diǎn)A_i（i=1，2，…，2007）關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′₁仍在這2007個(gè)點(diǎn)中，
不在直線(xiàn)L上點(diǎn)A_i（i=1，2，2007）與A_i關(guān)于直線(xiàn)L對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A′_i成對(duì)出現(xiàn)，即平面上標(biāo)出的點(diǎn)的總數(shù)應(yīng)是偶數(shù)個(gè)，與點(diǎn)的總數(shù)2007相矛盾．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反證法的應(yīng)用，從命題的反面出發(fā)，假設(shè)出2007個(gè)點(diǎn)都不在直線(xiàn)L上，根據(jù)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出矛盾，進(jìn)而肯定命題正確是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．