Question

1．如圖，已知拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，該拋物線頂點為D，對稱軸交x軸于點H．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）設點P在x軸下方的拋物線上，當∠ABP=∠CDB時，求出點P的坐標；
（3）以OB為邊最第四象限內作等邊△OBM．設點E為x軸的正半軸上一動點（OE＞OH），連接ME，把線段ME繞點M順時針旋轉60°得MF，求線段DF的長的最小值．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求得關于x的方程x²-2x-3=0的解即為點A、B的橫坐標；
（2）設P（x，x²-2x-3），根據(jù)拋物線解析式求得點D的坐標為D（1，-4）；結合坐標與圖形的性質求得線段CD=$\sqrt{2}$，CB=3$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$；所以根據(jù)勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°，則易推知相似三角形△BCD∽△PNB，由該相似三角形的對應邊成比例來求x的值，易得點P的坐標；
（3）正確做出等邊△OBM和線段ME所對應的旋轉線段MF，如圖2．過點B，F(xiàn)作直線交對稱軸于點G．構建全等三角形：△EOM≌△FBM，由該全等三角形的性質和圖形中相關角間的和差關系得到：
∠OBF=120°為定值，即BF所在直線為定直線．過D點作DK⊥BF，K為垂足線段DF的長的最小值即為DK的長度．

解答 解：（1）令y=0，得x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）

（2）設P（x，x²-2x-3），
如圖1，過點P作PN⊥x軸，垂足為N．
連接BP，設∠NBP=∠CDB．
令x=0，得y=x²-2x-3=-3，
∴C（0，-3）
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4）．
由勾股定理，得CD=$\sqrt{2}$，CB=3$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$．
∴BD²=BC²+CD²，
∴∠BCD=90°．
∵∠BCD=∠PNB=90°，∠NBP=∠CDB．
∴△BCD∽△PNB．
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{NB}{CD}$，
$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3-x}{\sqrt{2}}$，即x²-5x+6=0，
解得x₁=2，x₂=3（不合題意，舍去）．
∴當x=2時，y=-3
∴P（2，-3）；

（3）正確做出等邊△OBM和線段ME所對應的旋轉線段MF，如圖2．
過點B，F(xiàn)作直線交對稱軸于點G．
由題意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{OM=BM}\\{ME=MF}\\{∠OME=∠BMF}\end{array}\right.$，
∴△EOM≌△FBM，
∴∠MBF=∠MOB=60°．
∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°為定值，
∴BF所在直線為定直線．
過D點作DK⊥BF，K為垂足．
在Rt△BGH中，∠HBG=180°-120°=60°，
∴∠HGB=30°．
∵HB=3，
∴BG=4，HG=2$\sqrt{3}$．
∵D（1，-4），
∴DH=4，
∴DG=2$\sqrt{3}$+4．
在Rt△DGK中，∠DGK=30°．
∴DK=$\frac{1}{2}$DG=2+$\sqrt{3}$．
∵當點E與點H重合時，這時BF=OH=1，
則GF=4+1=5．
而GK=$\sqrt{3}$DK=3+2$\sqrt{3}$＞5，即點K在點F運動的路徑上，
所以線段DF的長的最小值存在，最小值是2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題．需要掌握拋物線與x軸的交點坐標，坐標與圖形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識點，難度較大，主要考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．