Question

【題目】已知：如圖，一次函數(shù)y=﹣2x與二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與其對稱軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，且△ACD的面積等于2．
①求二次函數(shù)的解析式；
②在該二次函數(shù)圖象的對稱軸上求一點(diǎn)P（寫出其坐標(biāo)），使△PBC與△ACD相似．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=ax2+2ax+c=a（x+1）2+c﹣a，

∴它的對稱軸為x=﹣1．

又∵一次函數(shù)y=﹣2x與對稱軸交于點(diǎn)C，

∴y=2．

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2）

（2）

解：①∵點(diǎn)C與點(diǎn)D 關(guān)于x軸對稱，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．

∴CD=4，

∵△ACD的面積等于2．

∴點(diǎn)A到CD的距離為1，C點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0）．

設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+1）2﹣2過點(diǎn)A，則a=2，

∴y=2x2+4x．

②設(shè)P（﹣1，t）．

交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，6），D（﹣1，﹣2），C（﹣1，2），A（0，0），

則BC=2 ，PC=t﹣2，CD=4，AD= ，

①當(dāng)△PBC∽△CAD時(shí)， = ，即 = ，

解得t=10，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，10），

②當(dāng)△PBC∽△ACD時(shí)， = ，即 = ，

解得t= ，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1， ），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，10），（﹣1， ）．

【解析】（1）把拋物線對稱軸方程x=﹣1代入直線方程，求得相應(yīng)的縱坐標(biāo)，易得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的對稱性易得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D（﹣1，﹣2），故CD=4，結(jié)合三角形的面積公式可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式為y=a（x+1）2﹣2，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可；②需要分類討論：△PBD∽△CAD、△PBD∽△ACD．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．