Question

已知：如圖，△ABC為黃金三角形，即AB=AC，且∠A=36°，求證：

BC

AC

=

5 -1

2

．

Answer 1

考點：黃金分割

專題：證明題

分析：作∠ABC的平分線交AC于D如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計算出∠ABC=∠C=72°，則∠ABD=∠CBD=36°，所以DA=DB，易得BD=BC，則AD=BC，再證明△BCD∽△ABC，得到BC²=CD•AD，則AD²=CD•AD，根據(jù)黃金分割的定義得到點D為AC的黃金分割點，則

AD

AC

=

5 -1

2

，于是有

BC

AC

=

5 -1

2

．

解答：證明：作∠ABC的平分線交AC于D，如圖，
∵AB=AC，且∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
而∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠CBD=∠A，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=CD•AD，
∴AD²=CD•AD，
∴點D為AC的黃金分割點，
∴

AD

AC

=

5 -1

2

，
∴

BC

AC

=

5 -1

2

．

點評：本題考查了黃金分割：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．