【題目】在△ABC中,D是邊BC的中點(diǎn).

1如圖1,求證:△ABD和△ACD的面積相等;

如圖2,延長(zhǎng)ADE,使DE=AD,連結(jié)CE,求證:AB=EC

2)當(dāng)∠BAC=90°時(shí),可以結(jié)合利用以上各題的結(jié)論,解決下列問(wèn)題:

求證:ADBC(即:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)

已知BC=4,將△ABD沿AD所在直線翻折,得到△ADB',若△ADB'與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,請(qǐng)畫(huà)出圖形(草圖)并求出AC的長(zhǎng)度.

【答案】1證明見(jiàn)解析;證明見(jiàn)解析;(2證明見(jiàn)解析;作圖見(jiàn)解析,AC=22

【解析】

1)①作ABCAB邊上的高,根據(jù)三角形面積公式即可得出結(jié)論;

②證明ABD≌△ECD,即可證明AB=EC

2)①根據(jù)ABD≌△ECD可得AD=DE=,再證ABC≌△CEA可得BC=AE,由此可得結(jié)論;

②分ABAC,ABAC,AB=AC三種情況討論,畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖,運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想,逐一分類解析,即可解決問(wèn)題.

解:(1)①過(guò)點(diǎn)AAHBC,垂足為H

SABDBDAH,SACDCDAH

∵點(diǎn)DBC中點(diǎn),

BD=CD,

∴△ABDACD的面積相等.

②在ABDECD中,

∴△ABD≌△ECD(SAS),

AB=EC

2)①∵△ABD≌△ECD(已證),

∴∠B=ECD

∵∠BAC=90°,

∴∠B+ACB=90°,

∴∠ECD+ACB=90°,

∴∠ACE=BAC=90°;

在△ABC與△CEA中,

∴△ABC≌△CEA(SAS),

BC=AE;

ADAE,∴ADBC

②畫(huà)草圖如下:

()當(dāng)ABAC時(shí),如圖3,由△ADB'與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,

結(jié)合(1)①題的結(jié)論,可以得到點(diǎn)O既即是ABˊ的中點(diǎn),也是CD的中點(diǎn),

故四邊形ADB'C為平行四邊形,

AC=BˊD=BDBC=2

()當(dāng)ABAC時(shí),

如圖4,類比()可得OA=OC,OB’=OD,

又∵∠AO B’=DOC,

∴△AOBˊ≌△CODSAS),

ABˊ=CD=2,∠Bˊ=CDO

又∵∠Bˊ=B,

∴∠B=CDO,/span>

ABOD,

∴∠COD=BAC=90°,

又∵DO=OBˊ=1,

由勾股定理可得CO

AC=2CO

()當(dāng) AB=AC時(shí),由等腰三角形的性質(zhì)可知,

折疊后重合的面積等于△ABC面積的,

不可能等于,所以不合題意,舍去.

綜上所述:AC=22

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3)將直線l1y=- x沿y向上平移后的直線l2與反比例函數(shù)y在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)C,如果△ABC的面積為30,求平移后的直線l2的函數(shù)表達(dá)式.

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時(shí)間(第x天)

1

3

6

10

日銷售量(m件)

198

194

188

180

②該產(chǎn)品90天內(nèi)每天的銷售價(jià)格與時(shí)間(第x天)的關(guān)系如下表:

時(shí)間(第x天)

1≤x<50

50≤x≤90

銷售價(jià)格(元/件)

x+60

100

(1)求m關(guān)于x的一次函數(shù)表達(dá)式;

(2)設(shè)銷售該產(chǎn)品每天利潤(rùn)為y元,請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求出在90天內(nèi)該產(chǎn)品哪天的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【提示:每天銷售利潤(rùn)=日銷售量×(每件銷售價(jià)格-每件成本)】

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