Question

如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)QE并延長交射線BC于點F.

1.如圖2，當BP=BA時，∠EBF=　 　°，猜想∠QFC=   °；

2.如圖1，當點P為射線BC上任意一點時，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明

3.已知線段AB=，設BP=，點Q到射線BC的距離為y ，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．

 

Answer 1

 

1.  30°................1分

         　　   = 60°..................................3分

2.=60°.....................................4分

不妨設BP＞, 如圖1所示

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP  

∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP

∴∠BAP=∠EAQ..........................................5分                

在△ABP和△AEQ中  AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ

∴△ABP≌△AEQ（SAS）.........................6分

∴∠AEQ=∠ABP=90°...............................7分

∴∠BEF

∴=60°…………………………............8分

(事實上當BP≤時，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）

3.在圖1中，過點F作FG⊥BE于點G

    　　　 ∵△ABE是等邊三角形    　　∴BE=AB=，由（1）得30°

             在Rt△BGF中，     ∴EG²+GF²=EF²    ∴EF=2.......10分

    　　　 ∵△ABP≌△AEQ      ∴QE=BP=    ∴QF=QE＋EF................11分

   　　　過點Q作QH⊥BC，垂足為H

在Rt△QHF中，QH²+FH²=QF²

∴Y=（x＞0）

即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：.....................................................12分

 解析:略