Question

【題目】綜合與探究

如圖，等腰直角中，，，現(xiàn)將該三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）過(guò)點(diǎn)作軸，求的長(zhǎng)及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連接，若為坐標(biāo)平面內(nèi)異于點(diǎn)的點(diǎn)，且以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）已知，試探究在軸上是否存在點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）4，；（2）或或；（3）或或

【解析】

（1）先根據(jù)證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出、的長(zhǎng)即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）做關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到；做關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到；做關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到，根據(jù)對(duì)稱圖形的性質(zhì)即可知道所作的圖形全等，即可寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)有一個(gè)點(diǎn)符合，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)分鈍角三角形和銳角三角形即可求解.

（1）∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為

∴

∵

∴

∵軸

∴

∴

∴

又∵，

∴

∴

∴

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2）①做關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到，

∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱

∴做關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到

∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

③做關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到，

∴

∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；

（3）①當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，且是腰

∵軸

∴可以做點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴是的垂直平分線

∴

∴是以為腰的等腰三角形；

②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，且是腰，形成銳角三角形時(shí)，

即

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，且是腰，形成鈍角三角形時(shí)，

即

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或或