Question

如圖，三個(gè)等圓⊙O，⊙M，⊙N的圓心均在x軸上，其中⊙O分別與⊙N、⊙M外切，且⊙M，⊙N分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-45，0），B（45，0）．點(diǎn)G是⊙N上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AG與y軸、⊙O分別交于點(diǎn)H、E、F，已知點(diǎn)K的坐標(biāo)是（0，45）．當(dāng)△AKH的面積最小時(shí)，則⊙O的弦EF長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

24
分析：要使△AKH的面積最小，邊KH上的高AO的值是45，只要KH最小即可，過(guò)A作AG切⊙N于G，此時(shí)KH最小，連接NG，OE，過(guò)O作OC⊥EF于C，求出AO、AN，證△ACO∽△AGN，得出比例式，求出OC，在△EOC中根據(jù)勾股定理求出EC，根據(jù)垂徑定理得出EF=2CE，代入求出即可．
解答：∵要使△AKH的面積最小，邊KH上的高AO的值是45，只要KH最小即可；
∴過(guò)A作AG切⊙N于G，此時(shí)KH最小，
連接NG，OE，過(guò)O作OC⊥EF于C，
則∠OCA=∠NGA=90°，
∵A（-45，0），B（45，0），三個(gè)等圓⊙O、⊙M、⊙N，
∴三個(gè)圓的半徑是（45+45）÷3÷2=15，
即GN=15，AO=45，AN=90-15=75，
∵∠OCA=∠NGA=90°，
∠GAN=∠GAN，
∴△ACO∽△AGN，
∴=，
∴=，
∴OC=9，
在Rt△EOC中，由勾股定理得：EC===12，
∵OC⊥EF，OC過(guò)圓心O，
∴由垂徑定理得：EF=2CE=24．
故答案為：24．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，解此題的突破口是找出符合條件的G的位置，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．