Question

6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的頂點(diǎn)C落在第二象限，其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、原點(diǎn)上，且AB=12cm；
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A沿x軸向右滑動(dòng)，點(diǎn)B沿y軸向上滑動(dòng)，當(dāng)以A、O、B為頂點(diǎn)的三角形和△ABC全等時(shí)，求OB的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)A滑動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)C滑動(dòng)的路程．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CE⊥AO于E，求出CE、EO的長(zhǎng)即可解決問題．
（2）如圖2中，當(dāng)OB=BC時(shí)，△ABO≌ABC，如圖3中，當(dāng)OB=AC時(shí)，△AOB≌△BCA，分別求出OB即可．
（3）如圖4中，當(dāng)點(diǎn)A滑動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)C滑動(dòng)的路程是C′→C→C″．求出C′C+CC″即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作CE⊥AO于E，

在Rt△ACO中，∵∠ACO=90°，∠CAO=30°，AB=12，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•CE=$\frac{1}{2}$•AC•BC，
∴CE=$\frac{AC•BC}{12}$=3$\sqrt{3}$，
∴EB=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{36-27}$=3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（-3，3$\sqrt{3}$）．

（2）如圖2中，當(dāng)OB=BC時(shí)，△ABO≌ABC，此時(shí)OB=6；如圖3中，當(dāng)OB=AC時(shí)，△AOB≌△BCA，此時(shí)OB=AC=6$\sqrt{3}$．


（3）如圖4中，當(dāng)點(diǎn)A滑動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)C滑動(dòng)的路程是C′→C→C″．

∴點(diǎn)C滑動(dòng)的路程是C′C+CC″=（12-6）+（12-6$\sqrt{3}$）=18-6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用面積法求直角三角形斜邊上的高，學(xué)會(huì)正確畫出圖形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．