Question

11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)I是兩條平分線的交點(diǎn)．
（1）若∠A=50°，則∠BIC=115°；
（2）若∠A=50°，點(diǎn)D是兩條外角平分線的交點(diǎn)，則∠D=65°；
（3）若點(diǎn)E是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACG的平分線交點(diǎn)，試探索∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）已知點(diǎn)I是兩角B、C平分線的交點(diǎn)，故∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90+$\frac{1}{2}$∠BAC，由此可求∠BIC；
（2）因?yàn)锽E、BD分別為∠ABC的內(nèi)角、外角平分線，故∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四邊形CDBI中，可證∠BDC=180°-∠BIC=90-$\frac{1}{2}$∠BAC，由此可求∠BDC；
（3）在△BDE中，∠DBI=90°，故∠BEC=90°-∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC．

解答 解：（1）∵點(diǎn)I是兩角B、C平分線的交點(diǎn)，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90+$\frac{1}{2}$∠BAC
=115°；

（2）∵BE、BD分別為∠ABC的內(nèi)角、外角平分線，
∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四邊形CDBI中，∠D=180°-∠BIC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC=65°；

（3）∠E=2∠A．
證明：在△BDE中，∠DBI=90°，
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）
=$\frac{1}{2}$∠BAC，
即∠E=2∠A．
故答案為：115°，65°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角、外角平分線的夾角大小與原三角形內(nèi)角的關(guān)系，要充分運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)換．