Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，點D在邊BC上，點E在線段DC上，DE=4，以DE為邊作等邊三角形DEF，點F與點A在BC邊同側，DF交AB于點M，EF交AC于點N．
（1）求證：△BMD∽△CNE；
（2）當點M到BC的距離等于MF時，求BD的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,等腰三角形的性質,等邊三角形的性質

專題：

分析：（1）兩三角形中，AB=AC可得出∠B=∠C，三角形DEF是等邊三角形可得出∠FDB=∠FEC=120°由此可證得兩三角形相似．
（2）以M為圓心，以MF為半徑的園與BC相切，那么過點M作MH⊥BC，則MH=MF，設BD=x，可在三角形DEF中用BD來表示出DM，因為BD=DM=x，進而在直角三角形BMH中表示出MH，然后解直角三角函數即可求出x的值．

解答：（1）證明：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=∠FED=60°．
∴∠MDB=∠AEC=120°．
∴△BDM∽△CEN．


（2）解：過點M作MH⊥BC，
∵以M為圓心，以MF為半徑的園與BC相切，
∴MH=MF，
設BD=x，
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=∠B，
∴DM=BD=x，∴MH=MF=DF-MD=4-x，
在RT△DMH中，sin∠MDH=sin60°=

MH

MD

，
∴

4-x

x

=

3

2

，
解得x=16-8

3

，
∴當BD=16-8

3

時，點M到BC的距離等于MF．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質，切線的判定以及相似三角形的性質，解直角三角函數等知識點，運用好各特殊度數的角是解題的關鍵．