Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y=ax2+bx-1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，1）和點(diǎn)B（-1，-1），拋物線C2：y=2x2+x+1，動(dòng)直線x=t與拋物線C1交于點(diǎn)N，與拋物線C2交于點(diǎn)M．

（1）求拋物線C1的表達(dá)式；

（2）直接用含t的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，求t的值；

（4）在（3）的條件下，設(shè)拋物線C1與y軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)M在y軸右側(cè)的拋物線C2上，連接AM交y軸于點(diǎn)K，連接KN，在平面內(nèi)有一點(diǎn)Q，連接KQ和QN，當(dāng)KQ=1且∠KNQ=∠BNP時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋x－1；（2）t2+2；（3）1或0；（4）Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2）、（-1，3）、.

【解析】

（1）應(yīng)用待定系數(shù)法；

（2）把x=t帶入函數(shù)關(guān)系式相減；

（3）根據(jù)圖形分別討論∠ANM=90°、∠AMN=90°時(shí)的情況．

（4）根據(jù)題意畫出滿足條件圖形，可以找到AN為△KNP對(duì)稱軸，由對(duì)稱性找到第一個(gè)滿足條件Q，再通過(guò)延長(zhǎng)和圓的對(duì)稱性找到剩余三個(gè)點(diǎn)．利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．

（1）∵拋拋物線C1：y＝ax2＋bx－1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－2，1）和點(diǎn)B（－1，－1），

∴，

解得，

∴拋拋物線C1的解析式為y＝x2＋x－1；

（2）∵動(dòng)直線x=t與拋物線C1交于點(diǎn)N，與拋物線C2交于點(diǎn)M

∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為t2+t-1，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2t2+t+1

∴MN=（2t2+t+1）-（t2+t-1）=t2+2

（3）共分兩種情況

①當(dāng)∠ANM=90°，AN=MN時(shí)，由已知N（t，t2+t-1），A（-2，1）

∴AN=t-（-2）=t+2

∵MN=t2+2

∴t2+2=t+2

∴t1=0（舍去），t2=1

∴t=1

②當(dāng)∠AMN=90°，AM=MN時(shí)，由已知M（t，2t2+t+1），A（-2，1）

∴AM=t-（-2）=t+2，

∵MN=t2+2

∴t2+2=t+2

∴t1=0，t2=1（舍去）

∴t=0

故t的值為1或0

（4）由（3）可知t=1時(shí)M位于y軸右側(cè)，根據(jù)題意畫出示意圖如圖：

易得K（0，3），B、O、N三點(diǎn)共線

∵A（-2，1）N（1，1）P（0，-1）

∴點(diǎn)K、P關(guān)于直線AN對(duì)稱

設(shè)半徑為1的⊙K與y軸下方交點(diǎn)為Q2，則其坐標(biāo)為（0，2）

∴Q2與點(diǎn)O關(guān)于直線AN對(duì)稱

∴Q2是滿足條件∠KNQ=∠BNP．

則NQ2延長(zhǎng)線與⊙K交點(diǎn)Q1，Q1、Q2關(guān)于KN的對(duì)稱點(diǎn)Q3、Q4也滿足∠KNQ=∠BNP．

由圖形易得Q1（-1，3）

設(shè)點(diǎn)Q3坐標(biāo)為（m，n），由對(duì)稱性可知Q3N=NQ1=BN=2

由∵⊙K半徑為1

∴

解得，．

同理，設(shè)點(diǎn)Q4坐標(biāo)為（m，n），由對(duì)稱性可知Q4N=NQ2=NO=

∴

解得．

∴滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2）、（-1，3）、