Question

16．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2，-4），O（0，0），B（2、0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，求△AOM周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2、0）三點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx+c解方程組即可．
（2）如圖，連接AB與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)M，此時(shí)△AOM周長(zhǎng)最小，△AOM周長(zhǎng)最小值=OA+AB，求出OA、AB即可．

解答 （1）解：把A（-2，-4），O（0，0），B（2、0）三點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx+c
得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{4a-2b+c=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，．
故拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）解：如圖，連接AB與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)M，此時(shí)△AOM周長(zhǎng)最�。�
∴△AOM周長(zhǎng)最小值=AO+OM+AM=BM+AM+AO=AO+AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$+$4\sqrt{2}$=2$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$．
∴△AOM周長(zhǎng)最小值為2$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)確找到點(diǎn)M的位置，屬于中考常考題型．