Question

已知拋物線y=x²-1，直線l過(guò)點(diǎn)P（0，2）與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求直線l的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的解析式為y=kx+2，則y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，利用兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)解方程組

y=kx+2 y=x2-1

得x²-kx-3=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=k，x₁•x₂=-3，然后利用勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式得到x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，整理得x₁•x₂+y₁•y₂=0，再把y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2代入后變形得到x₁•x₂+k²x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，于是可得到關(guān)于k的方程-3-3k²+2k•k+4=0，接著解方程求出k即可得到直線l的解析式．

解答：解：如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的解析式為y=kx+2，則y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
由方程組

y=kx+2 y=x2-1

得x²-1=kx+2，整理得x²-kx-3=0，則x₁+x₂=k，x₁•x₂=-3，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴OA²+OB²=AB²，
∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∴x₁•x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
整理得x₁•x₂+k²x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴-3-3k²+2k•k+4=0，解得k=1或-1，
∴直線l的解析式為y=x+2或y=-x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱軸直線x=-

b

2a

．也考查了利用解方程組求兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)和兩點(diǎn)間的距離公式．