Question

已知，如圖：正方形ABCD，將Rt△EFG斜邊EG的中點與點A重合，直角頂點F落在正方形的AB邊上，Rt△EFG的兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點，（點P與點F重合），如圖1所示：

（1）求證：EP²+GQ²=PQ²；
（2）若將Rt△EFG繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點，如圖2所示：判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間是否存在什么確定的相等關(guān)系？若存在，證明你的結(jié)論．若不存在，請說明理由；
（3）若將Rt△EFG繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（90°＜α＜180°），兩直角邊分別交BA、AD兩邊延長線于P、Q兩點，并判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間存在何種確定的相等關(guān)系？按題意完善圖3，請直接寫出你的結(jié)論（不用證明）．

Answer 1

解：（1）過點E作EH∥FG，如圖所示：

∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，
∴△EAH≌△GAQ，
∴EH=QG，HA=AQ，
∵FA⊥AD，
∴PQ=PH．
在Rt△EPH中，
∵EP²+EH²=PH²，
∴EP²+GQ²=PQ²；

（2）過點E作EH∥FG，交DA的延長線于點H，連接PQ、PH，

∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，
∴△EAH≌△GAQ，
∴EH=QG，HA=AQ，
∵PA⊥AD，
∴PQ=PH．
在Rt△EPH中，
∵EP²+EH²=PH²，
∴EP²+GQ²=PH²．
在Rt△PFQ中，
∵PF²+FQ²=PQ²，
∴PF²+FQ²=EP²+GQ²．

（3）四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PF²+GQ²=PE²+FQ²．

分析：（1）過點E作EH∥FG，由此可證△EAH≌△GAQ，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=QG，又PQ=PH，在Rt△EPH中，EP²+EH²=PH²，由此可以得到EP²+GQ²=PQ²；
（2）過點E作EH∥FG，交DA的延長線于點H，連接PQ、PH，由此可證△EAH≌△GAQ，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=QG，又PH=PQ，在Rt△EPH中，EP²+EH²=PH²，即EP²+GQ²=PH²，在Rt△PFQ中，PF²+FQ²=PQ²，故PF²+FQ²=EP²+GQ²；
（3）四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PE²+GQ²=PF²+FQ²，證明方法同上．
點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來構(gòu)造全等三角形的判定條件，同時解題過程中，要利用直角三角形和正方形的特殊性質(zhì)來解決問題．