Question

如圖，已知⊙O的直徑AB=8cm，直線DM與⊙O相切于點E，連接BE，過點B作BC⊥DM于點C，BC交⊙O于點F，BC=6cm．
求：
（1）線段BE的長；
（2）圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接AE，易得∠AEB=90°，∠ECB=90°，那么∠AEB=∠ECB，根據弦切角定理得∠CEB=∠EAB，那么△AEB∽△ECB，由相似三角形的性質得BE²=AB•BC，從而求得BE的值；
（2）連接OE，過點O作OG⊥BE于點G，易得BG=EG，根據特殊角的三角函數值知∠ABE=30°，所以可求得BO=4，OG=2，進而求得△EOB的面積，由于半徑OE=OB，根據等邊對等角得∠OEB=∠OBE=30°，由三角形的內角和定理得∠BOE=120°，則可求得扇形OBE的面積，再根據S_陰影=S_扇形OBE-S_△EOB求得陰影部分的面積．

解答：解：（1）連接AE．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
又∵BC⊥DM，
∴∠ECB=90°，
∴∠AEB=∠ECB，
∵直線DM與⊙O相切于點E，
∴∠CEB=∠EAB，
∴△AEB∽△ECB，
∴

AB

EB

=

BE

BC

，
∴BE²=AB•BC，
∴BE=

AB•BC

=

8×6

=

48

=4

3

（cm）；

（2）連接OE，過點O作OG⊥BE于點G．
∴BG=EG，
在Rt△ABE中，cos∠ABE=

BE

AB

=

4 3

8

=

3

2

，
∴∠ABE=30°，
在Rt△OBG中，∠ABE=30°，BO=4，
∴OG=2，
∴S△EOB=

1

2

×4

3

×2=4

3

，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE=30°，
∴∠BOE=120°，
∴S_扇形OBE=

120π×42

360

=

16

3

π，
∴S_陰影=S_扇形OBE-S_△EOB=（

16

3

π-4

3

）cm²．

點評：本題綜合考查了直徑對的圓周角是直角三角形，弦切角定理，切線的性質，相似三角形的判定和性質，垂徑定理，銳角三角函數的概念，特殊角的三角函數值，三角形和扇形的面積公式等知識點．