Question

13．正方形、等邊三角形是常見(jiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形．如圖，設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，試在這個(gè)正方形中找出一個(gè)面積最大的和一個(gè)面積最小的內(nèi)接等邊三角形，并求出這兩個(gè)圖形的面積．

Answer 1

分析 ①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)時(shí)，等邊三角形△EFG的邊長(zhǎng)最小，在RT△AEF求出EF即可．②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，等邊三角形△EFG的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)，在CD上取一點(diǎn)M使得EM=MC，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知∠ECD=∠BCE=15°，設(shè)DF=x，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)時(shí)，等邊三角形△EFG的邊長(zhǎng)最小，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=1，AE=BE=$\frac{1}{2}$，∠A=∠B=90°，
∵∠FEG=60°，EF=EG，
在△AEF和△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EG}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BEG，
∴∠AEF=∠BEG=60°，
∴EF=EG=FG=2AE=1．
S_△EFG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•EF²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，等邊三角形△EFG的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)．

在CD上取一點(diǎn)M使得EM=MC，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知∠ECD=∠BCE=15°，
∴∠MFC=∠MCF=15°，
∴∠DMF=∠MFC+∠MCF=30°，設(shè)DF=a，則FM=MC=2a，DM=$\sqrt{3}$a，
∴2a+$\sqrt{3}$a=1，
∴a=2-$\sqrt{3}$，
∴DF=2-$\sqrt{3}$，CF²=CD²+DF²=8-4$\sqrt{3}$．
∴S_△CEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•CF²=2$\sqrt{3}$-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形，添加輔助線構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)出現(xiàn)15°添加輔助線的方法，出現(xiàn)15°想到構(gòu)造30°的直角三角形，屬于中考�？碱}型．