Question

17．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結(jié)論：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=$\sqrt{2}$．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 ①四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；
②由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，故②正確；
③過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；
④CD與AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值無法判斷，故④錯誤．

解答 解：過D作DM∥BE交AC于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于點F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{CF}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正確，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正確；
設(shè)AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有$\frac{a}=\frac{\frac{a}{2}}$．
∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}=\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故④錯誤，
故選B．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計算，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．