Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，4）、（-1，0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′．
（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)C、A、A′，求此拋物線的解析式；
（2）在（1）的情況下，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)M的坐標(biāo)；
（3）在（1）的情況下，若P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），可求得點(diǎn)A′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得經(jīng)過點(diǎn)C、A、A′的拋物線的解析式；
（2）首先連接AA′，設(shè)直線AA′的解析式為：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線AA′的解析式，再設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，-x²+3x+4），繼而可得△AMA′的面積，繼而求得答案；
（3）分別從BQ為邊與BQ為對(duì)角線去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為：（4，0），
∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，4）、（-1，0），拋物線經(jīng)過點(diǎn)C、A、A′，
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=4}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+3x+4；

（2）連接AA′，設(shè)直線AA′的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AA′的解析式為：y=-x+4，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，-x²+3x+4），
則S_△AMA′=$\frac{1}{2}$×4×[-x²+3x+4-（-x+4）]=-2x²+8x=-2（x-2）²+8，
∴當(dāng)x=2時(shí)，△AMA′的面積最大，最大值S_△AMA′=8，
∴M的坐標(biāo)為：（2，6）；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+3x+4），當(dāng)P，N，B，Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)，
∵平行四邊形ABOC中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，4）、（-1，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4），
∵點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，0），P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，
①當(dāng)BQ為邊時(shí)，PN∥BQ，PN=BQ，
∵BQ=4，
∴-x²+3x+4=±4，
當(dāng)-x²+3x+4=4時(shí)，解得：x₁=0，x₂=3，
∴P₁（0，4），P₂（3，4）；
當(dāng)-x²+3x+4=-4時(shí)，解得：x₃=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，x₄=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，
∴P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）；
②當(dāng)BQ為對(duì)角線時(shí)，BP∥QN，BP=QN，此時(shí)P與P₁，P₂重合；
綜上可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（0，4），P₂（3，4），P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）；
如圖2，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0，0）或（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的知識(shí)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積問題．掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．