【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,A(a,0),B(0,b),C(-a,0),且+b2-4b+4=0.
(1)求證:∠ABC=90°;
(2)∠ABO的平分線交x軸于點D,求D點的坐標.
(3)如圖,在線段AB上有兩動點M、N滿足∠MON=45°,求證:BM2+AN2=MN2.
【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值,根據(jù)直角三角形的判定定理證明;
(2)過D作DE⊥AB于E,由于BD是∠ABO的角平分線,根據(jù)角平分線的性質(zhì)知DO=DE,即可證得OD=DE,根據(jù)三角形的面積公式計算即可;
(3)把△OBM繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,則旋轉(zhuǎn)后B點與A點重合,點M對應(yīng)點E,連結(jié)NE,由于∠MON=45°,那么∠EON=∠MON=45°,即可證得△MON≌△EON,MN=NE;同理可通過證△MON≌△EON,來得到BM=AN,∠OAE=∠OBM=45°,因此在Rt△NAE中,根據(jù)勾股定理即可證明.
(1)證明:由得
,
∴
∴
∴A、B、C的坐標是A(2,0),B(0,2),C(-2,0)
∴AB=,BC=,AC=4
∴AC2=AB2+BC2
∴∠ABC=90°
(2)過點D作DE⊥AB于E,
∵BD平分∠ABO,
∴OD=DE,
設(shè)OD=x,
∵ 解得,,
∴D點的坐標是
(3)證明:把△OBM繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,則旋轉(zhuǎn)后B點與A點重合,點M對應(yīng)點E(如圖),連結(jié)NE
∴∠NAE=90°
又∠MON=45°,
∴∠NOE=45°
在△MON和△EON中,
∴△OMN≌△OEN(SAS)
∴MN=NE
在△MOB和△EOA中,
∴△MOB≌△EOA,
BM=AE
∴在Rt△NAE中
NE2=AN2+AE2
∴MN2=AN2+BM2
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標系中,直線y=kx+5與x軸交于點A,與拋物線y=ax2+bx交于B,C兩點,且點B的坐標為(1,7),點C的橫坐標為5.
(1)直接寫出k的值和點C的坐標;
(2)將此拋物線沿對稱軸向下平移n個單位,當拋物線與直線AB只有一個公共點時,求n的值;
(3)在拋物線上有點P,滿足直線AB,AP關(guān)于x軸對稱,求點P的坐標..
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【題目】有A、B兩種型號臺燈,若購買2臺A型臺燈和6臺B型臺燈共需610元.若購買6臺A型臺燈和2臺B型臺燈共需470元.
(1)求A、B兩種型號臺燈每臺分別多少元?
(2)采購員小紅想采購A、B兩種型號臺燈共30臺,且總費用不超過2200元,則最多能采購B型臺燈多少臺?
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【題目】某段河流的兩岸是平行的,數(shù)學興趣小組在老師帶領(lǐng)下不用涉水過河就測得河的寬度,他們是這樣做的:
①在河流的一條岸邊B點,選對岸正對的一棵樹A;
②沿河岸直走20m有一樹C,繼續(xù)前行20m到達D處;
③從D處沿河岸垂直的方向行走,當?shù)竭_A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走;
④測得DE的長為5米.
求:(1)河的寬度是多少米?
(2)請你證明他們做法的正確性.
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【題目】如圖.過點A1(1,0)作x軸的垂線,交直線y=2x于點B1;點A2與點O關(guān)于直線A1B1對稱,過點A2作x軸的垂線,交直線y=2x于點B2;點A3與點O關(guān)于直線A2B2對稱.過點A3作x軸的垂線,交直線y=2x于點B3;…按此規(guī)律作下去.則點A3的坐標為 ,點Bn的坐標為 .
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【題目】如圖,在Rt△AOB中,∠ABO=90°,OB=4,AB=8,且反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象分別交OA、AB于點C和點D,連結(jié)OD,若S△BOD=4,請回答下列問題:
(1)求反比例函數(shù)解析式;
(2)求C點坐標.
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【題目】如圖①,已知直線l1、l2,直線l3和直線l1、l2交于點C和D,在直線l3上有動點P(點P與點C、D不重合),點A在直線l1上,點B在直線l2上.
(1)如果點P在C、D之間運動時,且滿足∠1+∠3=∠2,請寫出l1與l2之間的位置關(guān)系 ;
(2)如圖②如果l1∥l2,點P在直線l1的上方運動時,試猜想∠1+∠2與∠3之間關(guān)系并給予證明;
(3)如果l1∥l2,點P在直線l2的下方運動時,請直接寫出∠PAC、∠PBD、∠APB之間的關(guān)系.
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