Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）當(dāng)CD=15時，求BC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的判定定理，連接OD，只需證明OD⊥CD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得∠A=30°，再根據(jù)等邊對等角得∠ADO=∠A，從而證明結(jié)論；
（2）在30°的直角三角形OCD中，求得OD，OC的長，則BC=OC-OB．

解答：證明：（1）連接OD．
∵∠ADE=60°，∠C=30°，
∴∠A=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=30°，
∴∠ODE=∠ODA+∠ADE=30°+60°=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）在Rt△ODC中，∠ODC=90°，∠C=30°，CD=15，
∵tanC=

OD

CD

，
∴OD=CD•tanC=15×

3

3

=5

3

，
∴OC=2OD=10

3

，
∵OB=OD=5

3

，
∴BC=OC-OB=10

3

-5

3

=5

3

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．