Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（0，6），C（6，0），∠ABC+∠ADC=180°，BC⊥CD．

(1)求證：∠ABO=∠CAD；

(2)求四邊形ABCD的面積；

(3)如圖2，E為∠BCO的鄰補(bǔ)角的平分線上的一點(diǎn)，且∠BEO=45°，OE交BC于點(diǎn)F，求BF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)32；(3)6.

【解析】

（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)證明；
（2）過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，作AE⊥CD的延長線于點(diǎn)E，作DG⊥x軸于點(diǎn)G，證明△ABF≌△ADE、△ABO≌△DAG，利用面積和可得四邊形ABCD的面積；
（3）作EH⊥BC于點(diǎn)H，作EG⊥x軸于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EH=EG，證明△EBH≌△EOG，得到EB=EO，根據(jù)等腰三角形的判定定理解出即可．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BAD+∠BCD=180°．

∵BC⊥CD，

∴∠BCD=90°．

∴∠BAD=90°．

∴∠BAC+∠CAD=90°．

又∵∠BAC+∠ABO=90°．

∴∠ABO=∠CAD．

(2)如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，作AE⊥CD的延長線于點(diǎn)E，作DG⊥x軸于點(diǎn)G．

∵A（-2，0），B（0，6），C（6，0），

∴OA=2，OB=OC=6．

∴∠BCO=45°．

又∵BC⊥CD，

∴∠BCO=∠DCO=45°．

又∵AF⊥BC，AE⊥CD，

∴AF=AE，∠FAE=90°．

∴∠BAF=∠DAE，

∴△ABF≌△ADE．

∴AB=AD．

又∵∠AGD=∠BOA=90°，

∴△ABO≌△DAG．

∴DG=AO=2，AC=AO+OC=8．

∴S四邊形ABCD=AC（BO+DG）==32．

(3)如圖3，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，作EG⊥x軸于點(diǎn)G，

∵E點(diǎn)在∠BCO的鄰補(bǔ)角的平分線上，

∴EH=EG．

又∵∠BCO=∠BEO=45°，

∴∠EBC=∠EOC．

∴△EBH≌△EOG．

∴EB=EO．

又∵∠BEO=45°，

∴∠EBO=∠EOB=67.5°．

∵∠OBC=45°，

∴∠BOE=∠BFO=67.5°．

∴BF=BO=6．