Question

已知拋物線a、b的解析式分別是關(guān)于y與x的關(guān)系式：y=x2-2mx-

m2

2

與y=-x2-2mx+

m2+2

2

．
（1）請(qǐng)用2種不同的方法，判斷拋物線a、b中哪條經(jīng)過點(diǎn)E，哪條經(jīng)過點(diǎn)F？
（2）當(dāng)m等于某數(shù)時(shí)，這兩條拋物線中，只有一條與x軸交于A、B（A點(diǎn)在左）兩個(gè)不同的點(diǎn)，問是哪條拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)？為什么？并求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)m=1時(shí)，直線x=n在兩拋物線的對(duì)稱軸之間平行移動(dòng)，并且分別與兩拋物線交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)線段CD的長為w，那么請(qǐng)寫出w與n之間的函數(shù)關(guān)系，并問當(dāng)n為什么值時(shí)w最大，最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）方法一：根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)情況確定出拋物線的開口方向，從而作出判斷；
方法二：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出常數(shù)項(xiàng)的正負(fù)情況，確定出拋物線與y軸的交點(diǎn)，從而作出判斷；
（2）根據(jù)常數(shù)項(xiàng)可知拋物線b，不論m取何值，都與y軸正半軸相交，從而確定出與x軸始終有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，而拋物線a當(dāng)m=0時(shí)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，然后令m=0求解即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的解析式表示出CD，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）方法一：∵拋物線a二次項(xiàng)系數(shù)1＞0，
∴拋物線開口向上，
∵拋物線b二次項(xiàng)系數(shù)-1＜0，
∴拋物線開口向下，
∴拋物線b經(jīng)過點(diǎn)E，拋物線a經(jīng)過點(diǎn)F；
方法二：m≠0時(shí)，
∵拋物線a的常數(shù)項(xiàng)-

m2

2

＜0，
∴拋物線a與y軸的負(fù)半軸相交，
∵拋物線b的常數(shù)項(xiàng)

m2+2

2

＞0，
∴拋物線b與y軸的正半軸相交，
∴∴拋物線b經(jīng)過點(diǎn)E，拋物線a經(jīng)過點(diǎn)F；

（2）∵

m2+2

2

=

m2

2

+1≥1，
∴拋物線b與y軸正半軸相交，
又∵-1＜0，
∴拋物線b不論m取何值，與x軸始終有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)m=0時(shí)，拋物線a為y=x²，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴拋物線b經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
m=0時(shí)，拋物線b為y=-x²+1，
令y=0，則-x²+1=0，
解得x₁=-1，x₂=1，
∵A點(diǎn)在左，
∴A（-1，0），B（1，0）；

（3）當(dāng)m=1時(shí)，拋物線a、b分別為y=x²-2x-

1

2

，y=-x²-2x+

3

2

，
∴兩拋物線的對(duì)稱軸分別為直線x=-

-2

2×1

=1，
直線x=-

-2

2×(-1)

=-1，
∵直線x=n在兩拋物線的對(duì)稱軸之間平行移動(dòng)，
∴w=CD=（-n²-2n+

3

2

）-（n²-2n-

1

2

）=-n²-2n+

3

2

-n²+2n+

1

2

=-2n²+2，
即w=-2n²+2，
∴當(dāng)n=0時(shí)，w最大，最大值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)的開口方向，二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，以及二次函數(shù)的最值問題，綜合題，但難度不大，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)以及最值問題是解題的關(guān)鍵．