Question

已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動點M從點A出發(fā)沿邊AD向點D運動．
（1）如圖1，當(dāng)b=2a，點M運動到邊AD的中點時，請證明∠BMC=90°；
（2）如圖2，當(dāng)b＞2a時，點M在運動的過程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請給與證明；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)b＜2a時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵b=2a，點M是AD的中點，∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°。
∴∠BMC=90°。
（2）解：存在，理由如下：
若∠BMC=90°，則∠AMB=∠DMC=90°。
又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC。
又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC�！�。
設(shè)AM=x，則，整理得：x²﹣bx+a²=0。
∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b²﹣4a²＞0。
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。
又∵兩根之積等于a²＞0，∴兩根同號。
又∵兩根之和等于b ＞0，∴兩根為正。符合題意。
∴當(dāng)b＞2a時，存在∠BMC=90°。
（3）解：不成立．理由如下：
若∠BMC=90°，由（2）可知x²﹣bx+a²=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b²﹣4a²＜0，∴方程沒有實數(shù)根。
∴當(dāng)b＜2a時，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結(jié)論不成立。

解析