Question

3．如圖，在菱形ABCD中，G是BD上一點(diǎn)，連接CG并延長交BA的延長線于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E．
（1）求證：AG=CG．
（2）求證：AG²=GE•GF．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得到∠EAG=∠DCG，等量代換得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，
∴∠F=∠FCD，
在△ADG與△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠EAG=∠DCG，
∴AG=CG；

（2）∵△ADG≌△CDG，
∴∠EAG=∠F，
∵∠AGE=∠AGE，
∴△AEG∽△FGA，
∴$\frac{AG}{FG}=\frac{EG}{AG}$，
∴AG²=GE•GF．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．