【題目】如圖甲,四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D,交y軸于點E,連接AB、AE、BE.已知tan∠CBE= ,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).
(1)求拋物線的解析式及頂點B的坐標(biāo);
(2)求證:CB是△ABE外接圓的切線;
(3)試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點P,使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似,若存在,直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度(0<t≤3)時,△AOE與△ABE重疊部分的面積為s,求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出t的取值范圍.
【答案】
(1)
解:由題意,設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣3)(x+1).
將E(0,3)代入上式,解得:a=﹣1.
∴y=﹣x2+2x+3.
則點B(1,4)
(2)
證明:如圖1,過點B作BM⊥y于點M,則M(0,4).
在Rt△AOE中,OA=OE=3,
∴∠1=∠2=45°,AE= =3 .
在Rt△EMB中,EM=OM﹣OE=1=BM,
∴∠MEB=∠MBE=45°,BE= = .
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°.
∴AB是△ABE外接圓的直徑.
在Rt△ABE中,tan∠BAE= = =tan∠CBE,
∴∠BAE=∠CBE.
在Rt△ABE中,∠BAE+∠3=90°,∴∠CBE+∠3=90°.
∴∠CBA=90°,即CB⊥AB.
∴CB是△ABE外接圓的切線.
(3)
解:Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan∠BAE= ,sin∠BAE= ,cos∠BAE= ;
若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似,則△DEP必為直角三角形;
①DE為斜邊時,P1在x軸上,此時P1與O重合;
由D(﹣1,0)、E(0,3),得OD=1、OE=3,即tan∠DEO= =tan∠BAE,即∠DEO=∠BAE
滿足△DEO∽△BAE的條件,因此 O點是符合條件的P1點,坐標(biāo)為(0,0).
②DE為短直角邊時,P2在x軸上;
若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似,則∠DEP2=∠AEB=90°,sin∠DP2E=sin∠BAE= ;
而DE= = ,則DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10,OP2=DP2﹣OD=9
即:P2(9,0);
③DE為長直角邊時,點P3在y軸上;
若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似,則∠EDP3=∠AEB=90°,cos∠DEP3=cos∠BAE= ;
則EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ = ,OP3=EP3﹣OE= span> ;
綜上,得:P1(0,0),P2(9,0),P3(0,﹣ ).
(4)
解:設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b.
將A(3,0),B(1,4)代入,得 ,解得 .
∴y=﹣2x+6.
過點E作射線EF//x軸交AB于點F,當(dāng)y=3時,得x= ,∴F( ,3).
情況一:如圖2,當(dāng)0<t≤ 時,設(shè)△AOE平移到△GNM的位置,MG交AB于點H,MN交AE于點S.
則ON=AG=t,過點H作LK⊥x軸于點K,交EF于點L.
由△AHG∽△FHM,得 ,即 .
解得HK=2t.
∴S陰=S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t2t=﹣ t2+3t.
情況二:如圖3,當(dāng) <t≤3時,設(shè)△AOE平移到△PQR的位置,PQ交AB于點I,交AE于點V.
由△IQA∽△IPF,得 .即 ,
解得IQ=2(3﹣t).
∵AQ=VQ=3﹣t,
∴S陰= IVAQ= (3﹣t)2= t2﹣3t+ .
綜上所述:s= .
【解析】(1)已知A、D、E三點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式,進而能得到頂點B的坐標(biāo).(2)過B作BM⊥y軸于M,由A、B、E三點坐標(biāo),可判斷出△BME、△AOE都為等腰直角三角形,易證得∠BEA=90°,即△ABE是直角三角形,而AB是△ABE外接圓的直徑,因此只需證明AB與CB垂直即可.BE、AE長易得,能求出tan∠BAE的值,結(jié)合tan∠CBE的值,可得到∠CBE=∠BAE,由此證得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°,此題得證.(3)△ABE中,∠AEB=90°,tan∠BAE= ,即AE=3BE,若以D、E、P為點的三角形與△ABE相似,那么該三角形必須滿足兩個條件:①有一個角是直角、②兩直角邊滿足1:3的比例關(guān)系;然后分情況進行求解即可.(4)過E作EF//x軸交AB于F,當(dāng)E點運動在EF之間時,△AOE與△ABE重疊部分是個四邊形;當(dāng)E點運動到F點右側(cè)時,△AOE與△ABE重疊部分是個三角形.按上述兩種情況按圖形之間的和差關(guān)系進行求解.
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【題目】平行四邊形ABCD中,E,F是對角線BD上的兩點, 如果添加一個條件使△ABE≌△CDF,則添加的條件不能是( 。
A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于O,不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是( )
A. AB∥CD,AO=CO B. AB∥DC,∠ABC=∠ADC
C. AB=DC,AD=BC D. AB=DC,∠ABC=∠ADC
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【題目】閱讀下面材料:
在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:
小凱的作法如下:
老師說:“小凱的作法正確.”
請回答:在小凱的作法中,判定四邊形AECF是菱形的依據(jù)是______________________.
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【題目】如圖,有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊,其中一種紙片的兩條直角邊長分別為1和2,另一種紙片的兩條直角邊長都為2.
圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙,方格紙中的每個小正方形的邊長均為1. 請用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片全部用上,互不重疊且不留空隙,三種方法所拼得的平行四邊形(非矩形)的周長互不相等,并把你所拼得的圖形按實際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上.
要求:(1)所畫圖形各頂點必須與方格紙中的小正方形頂點重合;
(2)畫圖時,要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡.
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【題目】一般情況下不成立,但有些數(shù)可以使得它成立,例如: .我們稱使得成立的一對數(shù), 為“相伴數(shù)對”,記為.
(1)若是“相伴數(shù)對”,求的值;
(2)寫出一個“相伴數(shù)對” ,其中且;
(3)若是“相伴數(shù)對”,求代數(shù)式的值.
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【題目】閱讀理解:如圖①所示,在平面內(nèi)選一定點O,引一條有方向的射線ON,再選定一個單位長度,那么平面上任一點M的位置可由OM的長度m與∠MON的度數(shù)θ確定,有序數(shù)對(m,θ)稱為M點的“極坐標(biāo)”,這樣建立的坐標(biāo)系稱為“極坐標(biāo)系”.
應(yīng)用:在圖②的極坐標(biāo)系下,如果正六邊形的邊長為2,有一邊OA在射線ON上,則正六邊形的頂點C的極坐標(biāo)應(yīng)記為( )
A.(4,60°)
B.(4,45°)
C.(2 ,60°)
D.(2 ,50°)
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【題目】甲、乙兩人進行摸排游戲,現(xiàn)有三張形狀大小完全相同的牌,正面分別標(biāo)有數(shù)字2,3,5,將三張牌背面朝上,洗勻后放在桌子上.
(1)甲從中隨機抽取一張牌,記錄數(shù)字后放回洗勻,乙再隨機抽取一張.請用列表法或畫樹狀圖的方法寫出所有可能的結(jié)果;
(2)若兩人抽取的數(shù)字和為2的倍數(shù),則甲獲勝;若抽取的數(shù)字和為5的倍數(shù),則乙獲勝.這個游戲公平嗎?請用概率的知識加以解釋.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,在三角形ABC中,AD⊥BC于D,F(xiàn)是AB上一點,FE⊥BC于E,∠ADG=∠BFE
(1)如圖1,求證:DG∥AB
(2)如圖2,若∠BAC=90°,請直接寫出圖中與∠CAD互余的角,不需要證明.
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