Question

如圖，已知△ABC，分別以AB、AC為邊作等邊△ABE和等邊△ACF，BF、CE交于點(diǎn)O．求證：
（1）BF=CE；
（2）∠BOE=60°；
（3）AO平分∠EOF；
（4）∠BEC+∠BFC=∠BAC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由條件證明△AEC≌△ABF即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可得∠AEC=∠ABF，且∠AEC+∠EAB=∠ABF+∠BOF，可得出結(jié)論；
（3）過A分別作AM⊥EC，AN⊥BF，證明△AEM≌△ABN，可得出AM=AN，可得出結(jié)論；
（4）由（3）可知∠AOF=∠AOE=60°，∠BEC+∠EBA=∠BAO+∠AOE，可得出∠BEC=∠BAO，同理可得∠BFC=∠CAO，相加可得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵△ABE和△ACF為等邊三角形，
∴AE=AB，AC=AF，∠EAB=∠FAC，
∴∠EAC=∠BAF，
在△AEC和△ABF中，

AE=AB ∠EAC=∠BAF AC=AF

，
∴△AEC≌△ABF（SAS），
∴BF=CE；
（2）由（1）△AEC≌△ABF，
∴∠AEC=∠ABF，
∵∠AEC+∠EAB=∠ABF+∠BOE，
∴∠BOE=∠EAB=60°；
（3）如圖，過A分別作AM⊥EC，AN⊥BF，分別交EC、BF于點(diǎn)M、N

由（1）可得∠AEM=∠ABN，
在△AEM和△ABN中，

∠AEM=∠ABN ∠AME=∠ANB AE=AB

，
∴△AEM≌△ABN（AAS），
∴AM=AN，
∴點(diǎn)A在∠EOF的角平分線上，
∴AO平分∠EOF；
（4）由（3）可知∠AOE=∠EBA=60°，
且∠BEC+∠EBA=∠BAO+∠AOE，
∴∠BEC=∠BAO，
同理∠BFC=∠CAO，
∴∠BEC+∠BFC=∠BAO+∠CAO=∠BAC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的、三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．