Question

如圖，⊙P與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），與軸相交于點(diǎn)A（5，0），過點(diǎn)A的直線AB與軸的正半軸交于點(diǎn)B，與⊙P交于點(diǎn)C．

（1）已知AC=3，求點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)；               

（2）若AC=, D是OＢ的中點(diǎn)．問：點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)是否在同一圓上？請(qǐng)說明理由．如果這四點(diǎn)在同一圓上，記這個(gè)圓的圓心為，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的值（用含的代數(shù)式表示）．                

Answer 1

解：（1）解法一：連接OC，∵OA是⊙P的直徑，∴OC⊥AB，

            在Rt△AOC中，，1分

            在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB

            ∴Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，·

            ∴，即，

 ∴ ，   ∴

            解法二：連接OC，因?yàn)镺A是⊙P的直徑， ∴∠ACO=90°

在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4，過C作CE⊥OA于點(diǎn)E，則：，

即：，∴，

∴   ∴，

設(shè)經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：．

       把點(diǎn)A（5，0）、代入上式得：

 ，    解得：，

          ∴ ，   ∴點(diǎn)  ．·4分

（2）點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，理由如下：

連接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D為OB上的中點(diǎn)，                            ∴，

∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，

∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，∴PD上的中點(diǎn)到點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)的距離相等，

∴點(diǎn)O、P、C、D在以DP為直徑的同一個(gè)圓上；    

由上可知，經(jīng)過點(diǎn)O、P、C、D的圓心是DP的中點(diǎn)，圓心，

由（1）知：Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，∴，求得：AB=，在Rt△ABO中，

，OD=，

∴，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，

∴，      ∴．