Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．若P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PBQ的最大面積是（ ）

A.18cm2
B.12cm2
C.9cm2
D.3cm2

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，
∴ = = ，
∴BC=8，
由題意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
設(shè)△PBQ的面積為S，
則S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值為9，
即當(dāng)t=3時(shí)，△PBQ的最大面積為9cm2；
故選C．
先根據(jù)已知求邊長(zhǎng)BC，再根據(jù)點(diǎn)P和Q的速度表示BP和BQ的長(zhǎng)，設(shè)△PBQ的面積為S，利用直角三角形的面積公式列關(guān)于S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求最值即可本題考查了有關(guān)于直角三角形的動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題，考查了解直角三角形的有關(guān)知識(shí)和二次函數(shù)的最值問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確表示兩動(dòng)點(diǎn)的路程（路程=時(shí)間×速度）；這類(lèi)動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題一般情況都是求三角形面積或四邊形面積的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題，直接利用面積公式或求和、求差表示面積的方法求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象確定最值，要注意時(shí)間的取值范圍．