Question

14．如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過A點作AG∥DB交CB的延長線于點G．
（1）求證：DE∥BF；
（2）若∠G=90°，求證：四邊形DEBF是菱形；
（3）請利用備用圖分析，在（2）的條件下，若BE=4，∠DEB=120°，點M為BF的中點，當點P在BD邊上運動時，求PF+PM的最小值，并求出此時線段BP的長．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質得到DF=BE，AB∥CD，根據平行四邊形的判定定理證明四邊形DEBF是平行四邊形，根據平行四邊形的性質證明結論；
（2）根據矩形的判定定理得到四邊形AGBD是矩形，根據直角三角形的性質得到ED=EB，證明結論；
（3）連接EM交BD于P，根據軸對稱的性質證明此時PF+PM的值最小，根據等邊三角形的性質計算即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分別為邊AB、CD的中點，
∴DF=BE，又AB∥CD，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DE∥BF；
（2）∵AG∥DB，AD∥CG，
∴四邊形AGBD是平行四邊形，
∵∠G=90°，
∴平行四邊形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90°，又E為邊AB的中點，
∴ED=EB，又四邊形DEBF是平行四邊形，
∴四邊形DEBF是菱形；
（3）連接EF，連接EM交BD于P，
∵四邊形DEBF是菱形，
∴點E和點F關于BD軸對稱，此時PF+PM的值最小，
∵四邊形DEBF是菱形，∠DEB=120°，
∴∠EBF=60°，
∴△BEF是等邊三角形，又BE=4，
∴EM=2$\sqrt{3}$，即PF+PM的最小值為2$\sqrt{3}$，
由題意得，點P為△EBF的重心，
∴BP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查的是平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質，軸對稱變換的性質以及等邊三角形的性質的綜合運用，掌握相關的判定定理和性質定理、正確作出輔助性是解題的關鍵．