Question

【題目】如圖所示，已知AB是圓O的直徑，圓O過BC的中點(diǎn)D，且DE⊥AC．

（1）求證：DE是圓O的切線；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵D是BC的中點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，

∴OD∥AC．

又∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD為半徑，

∴DE是圓O的切線．

（2）解：連接AD；

∵AB是圓O的直徑，

∴∠ADB=90°=∠ADC，

∴△ADC是直角三角形．

∵∠C=30°，CD=10，

∴AD= ．

∵OD∥AC，OD=OB，

∴∠B=30°，

∴△OAD是等邊三角形，

∴OD=AD= ，

∴圓O的半徑為 cm．

【解析】（1）連接OD，根據(jù)三角形的中位線定理可得OD∥AC．再根據(jù)平行線的性質(zhì)就可證明DE是圓O的切線；（2）利用30°這個(gè)特殊角度，求出AD的長(zhǎng)，由兩直線平行同位角相等，可得∠B=30°，進(jìn)而判斷出△OAD是等邊三角形，得到圓O的半徑.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．