Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中點，AM=AN，MN∥AC．
（1）求證：MN=AC；
（2）如果把條件“AM=AN”改為“AM⊥AN”，其它條件不變，那么MN=AC不一定成立．如果再改變一個條件，就能使MN=AC成立．請你寫出改變的條件并說明理由．

Answer 1

證明：（1）【方法一】如圖，連接CM．
在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中點，
∴CM=AM．
∴∠MAC=∠MCA．
∵AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM．
∵M(jìn)N∥AC，
∴∠CAM=∠AMN．
∴∠ACM=∠ANM．
∴∠CMA=∠MAN．
∴AN∥CM．
∴四邊形ACMN是平行四邊形．
∴MN=AC．
【方法二】如圖，連接CM，
證△ACM≌△MNA．
∴MN=AC．
（2）把“M是AB的中點”改為“過C點作AB的垂線，垂足為M點”．
理由是：易知CM∥AN，又MN∥AC，有四邊形ACMN是平行四邊形．
（注：改“Rt△ABC”為“等腰Rt△ABC”，酌情給分）
分析：（1）要證MN=AC，只需證四邊形ACMN為?，根據(jù)定義兩組對邊分別平行的四邊形時平行四邊形，而MN∥AC為已知，需證AN∥MC，可利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行來求．
（2）∵AM⊥AN，且MN∥AC，∴四邊形ACMN要為?，還少一組平行，若把M看做時RT△ABC斜邊高的垂足，則可證明CM∥AN，即可利用平行四邊形的定義證明．
點評：此題主要考查了平行四邊形的定義以及判定，難易程度適中．熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．