【題目】如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°.
(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖2,若∠B=∠DEC=30°,固定△ABC,使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB上時(shí),填空:
①線段DE與AC的位置關(guān)系是 ;
②設(shè)△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)猜想論證
當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí),小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,請(qǐng)你證明小明的猜想;
(3)拓展探究
如圖4,若BC=3,AC=2,當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中,四邊形ABDE的面積是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出來;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)①DE∥AC;②S1=S2;(2)成立,證明詳見解析;(3)存在,最大值為12.
【解析】
(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,然后求出△ACD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°,然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行解答;
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD,再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB,然后求出AC=BD,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明;
(3)由四邊形ABDE的面積=S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE=2××2×3+2S△BDC,則△BDC的面積最大時(shí),四邊形ABDE的面積最大,即可求解.
(1)①DE∥AC,
理由如下:
∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上,
∴AC=CD,
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,
∴△ACD是等邊三角形,
∴∠ACD=60°,
又∵∠CDE=∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;
②∵∠B=30°,∠C=90°,
∴CD=AC=AB,
∴BD=AD=AC,
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),△ACD的邊AC、AD上的高相等,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即S1=S2;
故答案為:DE∥AC;S1=S2;
(2)如圖3,作點(diǎn)D作DM⊥BC于M,過點(diǎn)A作AN⊥CE于N,
∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
在△ACN和△DCM中,
,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即S1=S2.
(3)∵四邊形ABDE的面積=S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE=2××2×3+2S△BDC,
∴△BDC的面積最大時(shí),四邊形ABDE的面積最大,
∴當(dāng)CD⊥BC時(shí),△BDC的面積最大值為×2×3=3,
∴四邊形ABDE的面積最大值=2××2×3+2×3=6+6=12.
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【題目】在正方形中,=6,連接,,是正方形邊上或?qū)蔷上一點(diǎn),若=2,則的長(zhǎng)為____________ .
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(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)設(shè)x軸上一點(diǎn)P(a,b),過點(diǎn)P作x軸的垂線(垂線位于點(diǎn)A的右側(cè)),分別交和的圖像于點(diǎn)B、C,連接OC,若BC=OA,求△OBC的面積.
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【題目】某學(xué)校在一次環(huán)保知識(shí)宣傳活動(dòng)中,需要印刷若干份調(diào)查問卷。印刷廠有甲、乙兩種收費(fèi)方式:甲種方式收制版費(fèi)6元,每一份收印刷費(fèi)0.1元;乙種方式不收制版費(fèi),每印一份收印刷費(fèi)0.12元。設(shè)共印調(diào)查問卷份:
(1)按甲種方式應(yīng)收費(fèi)多少元,按乙種方式應(yīng)收費(fèi)多少元(用含的代數(shù)式表示);
(2)若共需印刷500份調(diào)查問卷,通過計(jì)算說明選用哪種方式合算?
(3)印刷多少份調(diào)查問卷時(shí),甲、乙兩種方式收費(fèi)一樣多?
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【題目】計(jì)算:
①3x2﹣[2x2y﹣(xy﹣x2)]+4x2y
②×
③|﹣3|+(﹣1)2013×(π﹣3)0﹣
④[(3a+b)2﹣(2a﹣b)(﹣b﹣2a)]÷a
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),且經(jīng)過點(diǎn)(4,1),如圖,直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn),直線l為y=﹣1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在l上是否存在一點(diǎn)P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)知F(x0,y0)為平面內(nèi)一定點(diǎn),M(m,n)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等,求定點(diǎn)F的坐標(biāo).
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【題目】已知,,作射線,再分別作上和的平分線、.
(1) 如圖①,當(dāng)時(shí),求的度數(shù);
(2) 如圖②,當(dāng)射線在內(nèi)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),的大小是否發(fā)生變化,說明理由.
(3) 當(dāng)射線在外繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)且為鈍角時(shí),畫出圖形,請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的的度數(shù)(不必寫出過程) .
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【題目】某超市在“元旦”期間對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠,規(guī)定一次性購(gòu)物優(yōu)惠辦法:
少于200元,不予優(yōu)惠;高于200元但低于500元時(shí),九折優(yōu)惠;消費(fèi)500元或超過500元時(shí),其中500元部分給予九折優(yōu)惠,超過500元部分給予八折優(yōu)惠.根據(jù)優(yōu)惠條件完成下列任務(wù):
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(2)若顧客在該超市一次性購(gòu)物x元,當(dāng)x小于500但不小于200時(shí),他實(shí)際付款0.9x,當(dāng)x大于或等于500元時(shí),他實(shí)際付款多少元?(用含x的代數(shù)式表示)
(3)如果王老師兩次購(gòu)物貨款合計(jì)820元,第一次購(gòu)物的貨款為a元(200<a<300),用含a的式子表示王老師兩次購(gòu)物實(shí)際付款多少元?
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