Question

已知二次函數(shù).

（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點O（0，0）時，求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，當(dāng)m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標(biāo)；若P點不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點O（0，0），
∴代入得：，解得：m=±1。
∴二次函數(shù)的解析式為：或。
（2）∵m=2，∴二次函數(shù)為：。
∴拋物線的頂點為：D（2，－1）。
當(dāng)x=0時，y=3，
∴C點坐標(biāo)為：（0，3）。
（3）存在，當(dāng)P、C、D共線時PC+PD最短。
過點D作DE⊥y軸于點E，

∵PO∥DE，∴△COP∽△CED。
∴，即，解得：
∴PC+PD最短時，P點的坐標(biāo)為：P（，0）。

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點O（0，0），直接代入求出m的值即可。
（2）把m=2，代入求出二次函數(shù)解析式，利用配方法求出頂點坐標(biāo)以及圖象與y軸交點即可。
（3）根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)，當(dāng)P、C、D共線時PC+PD最短，利用相似三角形的判定和性質(zhì)得出PO的長即可得出答案。