【題目】如圖,線段AB=10,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度,沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒3個(gè)單位的速度在線段AB上來回運(yùn)動(dòng)(從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A后,立即原速返回,再次到達(dá)B點(diǎn)后立即調(diào)頭向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).) 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí),P,Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x.

(1)當(dāng)x=3時(shí),線段PQ的長(zhǎng)為
(2)當(dāng)P,Q兩點(diǎn)第一次重合時(shí),求線段BQ的長(zhǎng).
(3)是否存在某一時(shí)刻,使點(diǎn)Q恰好落在線段AP的中點(diǎn)上?若存在,請(qǐng)求出所有滿足條件的x的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)2
(2)解:設(shè)x秒后P,Q第一次重合,得:x+3x=10

解得:x=2.5,

∴BQ=3x=7.5


(3)解:設(shè)x秒后,點(diǎn)Q恰好落在線段AP的中點(diǎn)上,根據(jù)題意,

①當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)未到點(diǎn)A時(shí),即0<x< 時(shí),有

x=2(10﹣3x),

解得 ;

②當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后,從A到B時(shí),即 <x< 時(shí),有

x=2(3x﹣10),

解得 x=4;

③當(dāng)點(diǎn)Q第一次返回到B后,從B到A時(shí),即 <x<10時(shí),有

x=2(30﹣3x),

解得 ;

綜上所述:當(dāng)x= 或x=4或x= 時(shí),點(diǎn)Q恰好落在線段AP的中點(diǎn)上


【解析】解:(1)根據(jù)題意,當(dāng)x=3時(shí),P、Q位置如下圖所示:

此時(shí):AP=3,BQ=3×3=9,AQ=AB﹣BQ=10﹣9=1,
∴PQ=AP﹣AQ=2;
(1)結(jié)合圖形,表示出AP、AQ的長(zhǎng),可得PQ;(2)當(dāng)P,Q兩點(diǎn)第一次重合時(shí),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程+點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程=AB的長(zhǎng),列方程可求得;(3)點(diǎn)Q落在線段AP的中點(diǎn)上有以下三種情況:①點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)未到點(diǎn)A;②點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后,從A到B;③點(diǎn)Q第一次返回到B后,從B到A,根據(jù)AP=2AQ列方程可得.

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(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,如果∠BAC=90°,則∠BCE=  度;

(2)設(shè)∠BAC=α,BCE=β.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng),則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由;

②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng),則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.

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