Question

【題目】在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，BD是一條對角線，點P在邊CD上（與點C，D不重合），連接AP，平移△ADP，使點D移動到點C，得到△BCQ，在BD上取一點H，使HQ＝HD，連接HQ，AH，PH．

（1）依題意補全圖1；

（2）判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系及∠AHP的度數(shù)，并加以證明；

（3）若∠AHQ＝141°，菱形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路．（可以不寫出計算結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AH＝PH，∠AHP＝120°，理由見解析；（3）見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意可補全圖形;

(2)由平移的性質(zhì)可得PQ=CD,由菱形的性質(zhì)可得AD=DC,∠ADB=∠BDQ=30，可得AD=PQ，∠HQD=∠HDQ=30,可證△ADH≌△PQH,可得AH=PH,∠AHD=∠PHE,即可求出∠AHP=120,

(3)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可求∠DAP=21,通過解△DAP,可求DP的長度.

解：（1）補全圖形，如圖所示

（2）AH＝PH，∠AHP＝120°．

理由如下：如圖，由平移可知，PQ＝DC．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，

∴AD＝DC，∠ADB＝∠BDQ＝30°，

∴AD＝PQ，

∵HQ＝HD，

∴∠HQD＝∠HDQ＝30°，

∴∠ADB＝∠DQH，∠DHQ＝120°．

∵HQ＝DH，∠ADB＝∠DQH，AD＝PQ，

∴△ADH≌△PQH（SAS），

∴AH＝PH，∠AHD＝∠PHQ，

∴∠AHD+∠DHP＝∠PHQ+∠DHP，

∴∠AHP＝∠DHQ，

∵∠DHQ＝120°，

∴∠AHP＝120°．

（3）求解思路如下：

由∠AHQ＝141°，∠BHQ＝60°解得∠AHB＝81°，

a．在△ABH中，由∠AHB＝81°，∠ABD＝30°，解得∠BAH＝69°，

b．在△AHP中，由∠AHP＝120°，AH＝PH，解得∠PAH＝30°，

c．在△ADB中，由∠ADB＝∠ABD＝30°，解得∠BAD＝120°，

由a、b、c可得∠DAP＝21°，

在△DAP中，由∠ADP＝60°，∠DAP＝21°，AD＝1，可解△DAP，

從而求得DP長．