Question

如圖，⊙O與x軸的正半軸交于C、D兩點，延長CO′交圓于點E，給出5個論斷：
①⊙O與y軸相切于點A；②DE⊥x軸；③EC平分∠AED；④DE=2AO；⑤OD=3OC．
（1）如果論斷①、②都成立，那么論斷④一定成立嗎？答：

 

（填“成立”或“不成立”）．
（2）從論斷①、②、③、④中選取三個作為條件，將論斷⑤作為結(jié)論，組成一個真命題，并加以證明：
已知：如圖，⊙與x軸的正半軸交于C、D 兩點，E為圓上一點，

 

（只需填論斷的序號）．求證：OD=3OC．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接AO′并延長交DE于點F，根據(jù)⊙O與y軸相切于點A可知∠OAQ′=90°，再由DE⊥x軸可知DE∥y軸，故四邊形AODF是矩形，故OA=DF，再根據(jù)O′C=O′E可知EF=DF，故可得出結(jié)論；
（2）連接AC，根據(jù)切線的性質(zhì)可知O′A⊥y軸，再由DE⊥x軸可知CE是⊙O′的直徑，由EC平分∠AED，可設(shè)∠AEC=∠DEC=x，AC=CD，根據(jù)O′A=∠O′E得出∠O′AE=∠AEC=∠OAC=x，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ACO=∠AED=2x，根據(jù)∠AOC=90°可得∠OAC=x=30°，由此可得出結(jié)論．

解答：解：（1）成立．
理由：連接AO′并延長交DE于點F，
∵⊙O與y軸相切于點A，
∴∠OAQ′=90°．
∵DE⊥x軸，
∴DE∥y軸，
∴四邊形AODF是矩形，
∴OA=DF．
∵O′C=O′E，
∴EF=DF，即DE=2AO．
故答案為：成立；

（2）題設(shè)①②③（不唯一，含①③即可）．
證明：連接AC，
∵⊙O′與y軸相切于點A，
∴O′A⊥y軸，
∴∠OAC+∠O′AC=90°．
∵DE⊥x軸，
∴CE是⊙O′的直徑，
∴∠O′AE+∠O′AC=90°，
∴∠OAC=∠Q′AE．
∵EC平分∠AED，
∴設(shè)∠AEC=∠DEC=x，AC=CD，
∵O′A=∠O′E，
∴∠O′AE=∠AEC=∠OAC=x．
∵四邊形ACDE內(nèi)接與⊙O′，
∴∠ACO=∠AED=2x．
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=x=30°，
∴CD=AC=2OC，
∴OD=3OC．
故答案為：①②③．

點評：本題考查的是圓的綜合題，根據(jù)題意作出輔助線，利用切線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．