Question

【題目】一次函數(shù)y＝x的圖象如圖所示，它與二次函數(shù)y＝ax2－4ax＋c的圖象交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D．

①若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且△ACD的面積等于3，求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

②若CD＝AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C（2， ）；（2）①y＝x2－x； ②y＝－x2＋2x＋．

【解析】試題分析：（1）求得二次函數(shù)y＝ax2－4ax＋c對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，把x＝2代入y＝x求得y=，即可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)即可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，并且求得CD的長(zhǎng)，設(shè)A（m， m） ，根據(jù)S△ACD＝3即可求得m的值，即求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，把A.D的坐標(biāo)代入y＝ax2－4ax＋c得方程組，解得a、c的值即可得二次函數(shù)的表達(dá)式.②設(shè)A（m， m）（m<2），過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于E，則AE＝2－m，CE＝－m，

根據(jù)勾股定理用m表示出AC的長(zhǎng)，根據(jù)△ACD的面積等于10可求得m的值，即可得A點(diǎn)的坐標(biāo)，分兩種情況：第一種情況，若a＞0，則點(diǎn)D在點(diǎn)C下方，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；第二種情況，若a＜0，則點(diǎn)D在點(diǎn)C上方，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，分別把A、D的坐標(biāo)代入y＝ax2－4ax＋c即可求得函數(shù)表達(dá)式.

試題解析：（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．∴二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2．

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x＝，∴C（2， ）．

（2）①∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴D（2，－ ），∴CD＝3.

設(shè)A（m， m） （m<2），由S△ACD＝3，得×3×（2－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.

由A（0，0）、 D（2，－ ）得解得a＝，c＝0.

∴y＝x2－x.

②設(shè)A（m， m）（m<2），過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于E，則AE＝2－m，CE＝－m，

AC＝＝（2－m），

∵CD＝AC，∴CD＝（2－m）.

由S△ACD＝10得×（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．

∴A（－2，－ ），CD＝5.

若a＞0，則點(diǎn)D在點(diǎn)C下方，∴D（2，－ ），

由A（－2，－ ）、D（2，－ ）得解得

∴y＝x2－x－3.

若a＜0，則點(diǎn)D在點(diǎn)C上方，∴D（2， ），

由A（－2，－ ）、D（2， ）得解得

∴y＝－x2＋2x＋.