Question

如圖，在直角坐標系中，半徑為2cm的動圓M與y軸交于A、B兩點，且保持弦AB長為定值2cm，圓M與x軸沒有交點，且圓心M在第一象限內，P是x軸正半軸上一動點，MQ⊥AB于Q，且MP=3cm，設OA=ycm，OP=xcm．
（1）求x、y所滿足的關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當△MOP為等腰三角形時，求相應x的值；
（3）是否存在大于2的實數x，使△MQO∽△OMP？若存在，求出相應的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過M點作MN⊥OA于N，連接MA，在Rt△AMQ中，AQ=

1

2

AB，利用勾股定理求出MQ=

3

，也就是ON的長度，而OQ=OA+AQ=y+1，在Rt△MNP中，再利用勾股定理列式整理即可得到y(tǒng)與x的關系式，根據被開方數不小于0解不等式即可求出x的取值范圍；
（2）因為兩條邊是腰長不明確，所以分①OP=PM，②OM=PM，③OM=OP三種情況討論求解；
（3）假設存在，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式，解方程，如果符合條件，則存在，否則，假設不成立，不存在．

解答：解：（1）過M點作MN⊥OA，垂足為N，連接MA，
∵AB=2，MA=2，M為圓心，
∴AQ=

1

2

AB=1，
∴ON=QM=

3

，MN=y+1，
在Rt△MNP中，MP=3，PN=x-

3

，
∴（y+1）²=9-（x-

3

）²，
∴y=

6+2 3 x-x2

-1(0＜x＜

3

+

5

)；

（2）當△MOP為等腰三角形時，
①若OP=PM=3時，x=3，
②若OM=PM時，x=2

3

，
③若OM=OP時，有（y+1）²+3=x²
即9-（x-

3

）²+3=x²，
解得x=

3 + 11

2

或x=

3 - 11

2

（舍去）；

（3）當△MQO∽△OMP時，有

MQ

OM

=

OM

OP

，
即

3

3+(y+1)2

=

3+(y+1)2

x

，
∴3+(y+1)2=

3

x，(y+1)2=

3

x-3，
∴9-(x-

3

)2=

3

x-3，
解得x=

3 + 39

2

或x=

3 - 39

2

（舍去）但

3 + 39

2

＞

3

+

5

，
∴不存在滿足條件的實數x，使△MQO∽△OMP．

點評：本題考查點較多，有垂徑定理、勾股定理、等腰三角形的性質和相似三角形對應邊成比例的性質，熟練掌握性質并靈活運用是解題的關鍵．