Question

【題目】（本題滿分10分）如圖，在菱形ABCD中，F為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過M作ME⊥CD于點(diǎn)E, ∠BAC=∠CDF.

(1）求證BC=2CE；

(2）求證AM=DF+ME.

Answer 1

【答案】(1)BC= 2CE(2)AM=DF+ME

【解析】

試題（1）由條件可證得CE=DE，結(jié)合菱形的性質(zhì)可證得BC=2CE；

（2）分別延長(zhǎng)AB、DF交于點(diǎn)G，可證△CDF≌△BGF，則可證得GF=DF，結(jié)合條件可證得AM=GM，MF=ME，則可證得結(jié)論．

試題解析：(1)∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB∥CD，且BC=CD，

∴∠BAC=∠ACD，且∠BAC=∠CDF，

∴∠ACD=∠CDF，

∴CM=DM，

∵ME⊥CD，

∴CE=DE，

∴BC=CD=2CE；

（2）如圖，分別延長(zhǎng)AB，DF交于點(diǎn)G，

∵AB∥CD，

∴∠G=∠CDF=∠BAC，

∴MG=MA，

在△CDF和△BGF中，，

∴△CDF≌△BGF(AAS)，

∴GF=DF，

在△CEM和△CFM中，，

∴△CEM≌△CFM(SAS)，

∴ME=MF，

∴AM=GM=GF+MF=DF+ME.