Question

15．如圖，在半徑為r的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，CE⊥DA交DA的延長線與E，連接AC．
（1）若$\widehat{AD}$的長為$\frac{2}{9}$πr，求∠ACD的度數(shù)；
（2）若$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，tan∠DAB=3．CE+AE=3，求r的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)已知條件和圓的周長公式即可得到結(jié)論；
（2）連接BD，根據(jù)已知條件得到∠ADC=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到ED=CE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OD，
∵$\widehat{AD}$的長為$\frac{2}{9}$πr，⊙O的周長=2πr，
∴∠AOD=360°×$\frac{\frac{2}{9}πr}{2πr}$=40°；
∴∠ACD=20°．

（2）連接BD，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∵∠ADC=45°，
∵CE⊥DA，
∴∠AEC=90°，
∴DE=CE，
∵CE+AE=3，
∴設(shè)AE=x，CE=3-x，
∴AD=3-2x，
∴AC²=x²+（3-x）²，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AB²=2AC²=2[x²+（3-x）²]，
∵tan∠DAB=3，
∴BD=3AD，
∴AB²=AD²+BD²，
即2[x²+（3-x）²]=（3-2x）²+[3（3-2x）]²，
∴x=1，x=2（不合題意，舍去），
∴AB=$\sqrt{10}$，
∴r=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查了弧長的計算，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．