Question

一場(chǎng)數(shù)學(xué)游戲在兩個(gè)非常聰明的學(xué)生甲、乙之間進(jìn)行．裁判先在黑板上寫出下面的正整數(shù)2、3、4、…、2006，然后隨意擦去一個(gè)數(shù)．接下來(lái)由乙、甲兩人輪流擦去其中的一個(gè)數(shù)（即乙先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后甲再擦去一個(gè)數(shù)，如此輪流下去），若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則判甲勝；否則，判乙勝．
按照這種游戲規(guī)則，求甲獲勝的概率．（用具體的數(shù)字作答）

Answer 1

解：由于甲、乙都非常聰明，他們獲勝的關(guān)鍵是看裁判擦去哪個(gè)數(shù)．注意到2，3，4，2006中有1002個(gè)奇數(shù)，有1003個(gè)偶數(shù)；
（1）若裁判擦去的是奇數(shù)，此時(shí)乙一定獲勝．
乙不管甲取什么數(shù)，只要還有奇數(shù)，就擦去奇數(shù)，這樣最后兩個(gè)數(shù)一定都是偶數(shù)，從而所剩兩數(shù)不互質(zhì)，故乙勝；
（2）若裁判擦去的數(shù)是偶數(shù)，此時(shí)甲一定獲勝．
設(shè)裁判擦去的數(shù)是2m，則將所剩的數(shù)配成1002對(duì)：（2，3），（2m-2，2m-1），（2m+1，2m+2），（2005，2006）．
這樣，不管乙取哪一個(gè)數(shù)，甲就去所配數(shù)對(duì)中的另一個(gè)數(shù)，這樣最后剩下的兩數(shù)必然互質(zhì)，故甲勝．
所以，甲獲勝的概率為．
故答案為：．
分析：先求出2，3，4，2006中有1002個(gè)奇數(shù)，有1003個(gè)偶數(shù)，再分裁判擦去的數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況討論，①若裁判擦去的是奇數(shù)，則乙不管甲取什么數(shù)，只要還有奇數(shù)，就擦去奇數(shù)，這樣最后兩個(gè)數(shù)一定都是偶數(shù)；
②若裁判擦去的數(shù)是偶數(shù)，設(shè)裁判擦去的數(shù)是2m，則將所剩的數(shù)配成1002對(duì)，再進(jìn)行解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念、數(shù)的整除性、概率公式，利用分類討論的思想進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵．