Question

一場數(shù)學游戲在兩個非常聰明的學生甲、乙之間進行．裁判先在黑板上寫出下面的正整數(shù)2、3、4、…、2006，然后隨意擦去一個數(shù)．接下來由乙、甲兩人輪流擦去其中的一個數(shù)（即乙先擦去其中的一個數(shù)，然后甲再擦去一個數(shù)，如此輪流下去），若最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則判甲勝；否則，判乙勝．
按照這種游戲規(guī)則，求甲獲勝的概率．（用具體的數(shù)字作答）

Answer 1

分析：先求出2，3，4，2006中有1002個奇數(shù)，有1003個偶數(shù)，再分裁判擦去的數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況討論，①若裁判擦去的是奇數(shù)，則乙不管甲取什么數(shù)，只要還有奇數(shù)，就擦去奇數(shù)，這樣最后兩個數(shù)一定都是偶數(shù)；
②若裁判擦去的數(shù)是偶數(shù)，設(shè)裁判擦去的數(shù)是2m，則將所剩的數(shù)配成1002對，再進行解答．

解答：解：由于甲、乙都非常聰明，他們獲勝的關(guān)鍵是看裁判擦去哪個數(shù)．注意到2，3，4，2006中有1002個奇數(shù)，有1003個偶數(shù)；
（1）若裁判擦去的是奇數(shù)，此時乙一定獲勝．
乙不管甲取什么數(shù)，只要還有奇數(shù)，就擦去奇數(shù)，這樣最后兩個數(shù)一定都是偶數(shù)，從而所剩兩數(shù)不互質(zhì)，故乙勝；（10分）
（2）若裁判擦去的數(shù)是偶數(shù)，此時甲一定獲勝．
設(shè)裁判擦去的數(shù)是2m，則將所剩的數(shù)配成1002對：（2，3），（2m-2，2m-1），（2m+1，2m+2），（2005，2006）．
這樣，不管乙取哪一個數(shù)，甲就去所配數(shù)對中的另一個數(shù)，這樣最后剩下的兩數(shù)必然互質(zhì)，故甲勝．（20分）
所以，甲獲勝的概率為

1003

2005

．（25分）
故答案為：

1003

2005

．

點評：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念、數(shù)的整除性、概率公式，利用分類討論的思想進行解答是解答此題的關(guān)鍵．