【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10,點D是射線CB上的一個動點,△ADE是等邊三角形,點F是AB的中點,連接EF.
(1)如圖,點D在線段CB上時,
①求證:△AEF≌△ADC;
②連接BE,設線段CD=x,BE=y,求y2﹣x2的值;
(2)當∠DAB=15°時,求△ADE的面積.
【答案】(1)①證明見解析;②25;(2)為或50+75..
【解析】
試題(1)、①在直角三角形ABC中,由30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長,再由F為AB中點,得到AC=AF=5,確定出三角形ADE為等邊三角形,利用等式的性質得到一對角相等,再由AD=AE,利用SAS即可得證;②由全等三角形對應角相等得到∠AEF為直角,EF=CD=x,在三角形AEF中,利用勾股定理即可列出y關于x的函數(shù)解析式;(2)、分兩種情況考慮:①當點在線段CB上時;②當點在線段CB的延長線上時,分別求出三角形ADE面積即可.
試題解析:(1)、①證明:在Rt△ABC中,∵∠B=30°,AB=10,
∴∠CAB=60°,AC=AB=5, ∵點F是AB的中點, ∴AF=AB=5,
∴AC=AF, ∵△ADE是等邊三角形, ∴AD=AE,∠EAD=60°, ∵∠CAB=∠EAD,
即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB, ∴∠CAD=∠FAE, ∴△AEF≌△ADC(SAS);
②∵△AEF≌△ADC,∴∠AEF=∠C=90°,EF=CD=x,又∵點F是AB的中點,
∴AE=BE=y, 在Rt△AEF中,勾股定理可得:y2=25+x2, ∴y2﹣x2=25
(2)①當點在線段CB上時, 由∠DAB=15°,可得∠CAD=45°,△ADC是等腰直角三角形,
∴AD2=50, △ADE的面積為;
②當點在線段CB的延長線上時, 由∠DAB=15°,可得∠ADB=15°,BD=BA=10,
∴在Rt△ACD中,勾股定理可得AD2=200+100, △ADE的面積為50 +75,
綜上所述,△ADE的面積為或50 +75.
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【題目】如圖,菱形OABC的頂點O在坐標原點,頂點A在x軸上,∠B=120°,OA=2,將菱形OABC繞原點順時針旋轉105°至OA′B′C′的位置,則點B′的坐標為( )
A. (,) B. (,) C. (2,-2) D. (,)
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【題目】2019年11月20日-23日,首屆世界大會在北京舉行.某校的學生開展對于知曉情況的問卷調查,問卷調查的結果分為、、、四類,其中類表示“非常了解”,類表示“比較了解”,類表示“基本了解”,類表示“不太了解”,并把調查結果繪制成如圖所示的兩個統(tǒng)計圖表(不完整).
根據(jù)上述信息,解答下列問題:
(1)這次一共調查了多少人;
(2)求“類”在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數(shù);
(3)請將條形統(tǒng)計圖補充完整.
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【題目】已知:關于x的方程x2﹣(2m+1)x+2m=0
(1)求證:方程一定有兩個實數(shù)根;
(2)若方程的兩根為x1,x2,且|x1|=|x2|,求m的值.
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【題目】如圖,AB∥CD,∠ABK的角平分線BE的反向延長線和∠DCK的角平分線CF的反向延長線交于點H,∠K﹣∠H=27°,則∠K=( 。
A. 76° B. 78° C. 80° D. 82°
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等邊三角形,點D在邊AB上.
(1)如圖1,當點E在邊BC上時,求證DE=EB;
(2)如圖2,當點E在△ABC內部時,猜想ED和EB數(shù)量關系,并加以證明;
(3)如圖3,當點E在△ABC外部時,EH⊥AB于點H,過點E作GE∥AB,交線段AC的延長線于點G,AG=5CG,BH=3.求CG的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,點D、點E為BC邊上兩點,且AC=DC,
(1)若∠EAC=∠EAF,EF⊥AB且AB=5,BC=4,求線段DE的長度;
(2)若EF⊥AD于點P,CF⊥AE于點Q,且AE=CF,求證:DE+PF=AP
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【題目】某文具店老板第一次用1000元購進一批文具,很快銷售完畢;第二次購進時發(fā)現(xiàn)每件文具進價比第一次上漲了2 5元.老板用2500元購進了第二批文具,所購進文具的數(shù)量是第一次購進數(shù)量的2倍,同樣很快銷售完畢,兩批文具的售價均為每件15元.
(1)問第二次購進了多少件文具?
(2)文具店老板第一次購進的文具有3% 的損耗,第二次購進的文具有5% 的損耗,問文具店老板在這兩筆生意中是盈利還是虧本?請說明理由.
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【題目】已知:矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點M、N分別在邊AB、CD上,直線MN交矩形對角線 AC于點E,將△AME沿直線MN翻折,點A落在點P處,且點P在射線CB上.
(1)如圖1,當EP⊥BC時,求CN的長;
(2) 如圖2,當EP⊥AC時,求AM的長;
(3) 請寫出線段CP的長的取值范圍,及當CP的長最大時MN的長.
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