【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6相交于A(,)和B(4,m),點P是AB上的動點,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為n,過點P作PC⊥x軸,交拋物線于點C,與x軸交于M點.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)點P是線段AB上異于A,B的動點,是否存在這樣的點P,使線段PC的長有最大值?若存在,求出這最大值,若不存在,請說明理由;
(3)點P在直線AB上自由移動,當(dāng)三個點C,P,M中恰有一點是其它兩點所連線段的中點時,請直接寫出m的值.
【答案】(1) y=2x2﹣8x+6;(2)見解析;(3) n的值為或.
【解析】分析:(1)把B(4,m)代入y=x+2中求出m得到B(4,6),然后把A點和B點坐標(biāo)代入y=ax2+bx+6得到關(guān)于a、b的方程組,再解方程組即可得到拋物線解析式;
(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(n,n+2)(<n<4),則點C的坐標(biāo)為(n,2n2-8n+6),用n表示PC得到PC=(n+2)-(2n2-8n+6),然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題;
(3)設(shè)P的坐標(biāo)為(n,n+2),則點C的坐標(biāo)為(n,2n2-8n+6),討論:若M點為PC的中點,則PM=CM,即n+2=-(2n2-8n+6);若P點為CM的中點,則PM=PC,即2n2-8n+6=2(x+2);若C點為PM的中點,則PC=CM,即n+2=2(2n2-8n+6),然后分別解方程可確定滿足條件的n的值.
詳解:
(1)∵B(4,m)在直線y=x+2上,
∴m=6,則B(4,6),
∵A( ,)、B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上,
∴ 解得 ,
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=2x2﹣8x+6;
(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(n,n+2)(<n<4),則點C的坐標(biāo)為(n,2n2﹣8n+6),
∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6)=﹣2n2+9n﹣4=﹣2(n﹣)2+,
∵a=﹣2<0,
∴當(dāng)n=時,線段PC取得最大值;
(3)設(shè)P的坐標(biāo)為(n,n+2),則點C的坐標(biāo)為(n,2n2﹣8n+6),
若M點為PC的中點,則PM=CM,即n+2=﹣(2n2﹣8n+6),整理得2n2﹣7n+8=0,此方程沒有實數(shù)解;
若P點為CM的中點,則PM=PC,即2n2﹣8n+6=2(x+2),整理得n2﹣5n+5=0,解得n1= ,n2=;
若C點為PM的中點,則PC=CM,即n+2=2(2n2﹣8n+6),整理得4n2﹣17n+10=0,解得n1= ,n2=;
綜上所述,n的值為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方形OABC中,O為平面直角坐標(biāo)系的原點,點A坐標(biāo)為(a,0),點C的坐標(biāo)為(0,b),且a、b滿足+|b-6|=0,點B在第一象限內(nèi),點P從原點出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿著O-C-B-A-O的線路移動.
(1)a=______________,b=_____________,點B的坐標(biāo)為_______________;
(2)當(dāng)點P移動4秒時,請指出點P的位置,并求出點P的坐標(biāo);
(3)在移動過程中,當(dāng)點P到x軸的距離為5個單位長度時,求點P移動的時間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里:
﹣|﹣5|, 2.626 626 662…, 0, ﹣π, ﹣, 0.12, ﹣(﹣6).
(1)正有理數(shù)集合:{ ____________ …};
(2)負(fù)數(shù)集合:{ ____________ …};
(3)整數(shù)集合:{ ____________ …};
(4)分?jǐn)?shù)集合:{ ____________ …}.
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【題目】如圖(1),一平面直角坐標(biāo)第xOy中,直線與y軸相交于點A,與反比例函數(shù)(x>0)的圖像相交于點B(m,2)
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若將直線向上平移4個單位長度后與y軸交于點C,求ΔABC的面積;
(3)如圖(2)將直線向上平移,與反比例函數(shù)的圖像交于點D,連接DA,DB.若
ΔABC的面積為3,求平移后直線的表達(dá)式。
圖(1) 圖(2)
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【題目】我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題:“問有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何?”這道題講的是:有一塊三角形沙田,三條邊長分別為5里,12里,13里,問這塊沙田面積有多大?題中“里”是我國市制長度單位,1里=500米,則該沙田的面積為( )
A.750平方千米B.75平方千米C.15平方千米D.7.5平方千米
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【題目】下列函數(shù)中,對于任意實數(shù),,當(dāng)時,滿足的是( 。
A. y=﹣3x+2 B. y=2x+1 C. y=2x2+1 D. y=﹣
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【題目】綜合與探究
如圖(1),線段AB的兩個端點的坐標(biāo)分別為(-12,4)(0,10),點P從點B出發(fā),沿BA方向勻速向點A運動;同時,點Q從坐標(biāo)原點O出發(fā),沿x軸的反方向以相同的速度運動,當(dāng)點P到達(dá)點A時,P,Q兩點同時停止運動,設(shè)運動的時間為t秒,ΔOPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數(shù)圖象如圖(2)所示。
(1)求點P的運動速度;
(2)求面積S與t的函數(shù)關(guān)系式及當(dāng)S最最大值時點P的坐標(biāo);
(3)點P是S取最大值時的點,設(shè)點M為x軸上的點,點N為坐標(biāo)平面內(nèi)的點,以點O,P,M,N為頂點的四邊形地矩形,請直接寫出點N的坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點D,E為⊙O上的兩個點,延長AD至C,使∠CBD=∠BED.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)當(dāng)點E為弧AD的中點且∠BED=30°時,⊙O半徑為2,求DF的長度.
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【題目】王達(dá)和李力是八(2)班運動素質(zhì)最好的兩位同學(xué),為了選出一名同學(xué)參加全校的體育運動大寒,班主任針對學(xué)校要測試的五個項目,對兩位同學(xué)進(jìn)行相應(yīng)的測試(成績:分),結(jié)果如下:
姓名 | 力量 | 速度 | 耐力 | 柔韌 | 靈敏 |
王達(dá) | 60 | 75 | 100 | 90 | 75 |
李力 | 70 | 90 | 80 | 80 | 80 |
根據(jù)以上測試結(jié)果解答下列問題:
(1)補充完成下表:
姓名 | 平均成績(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | 方差(分2) |
王達(dá) | 80 | 75 | 75 | 190 |
李力 |
(2)任選一個角度分析推選哪位同學(xué)參加學(xué)校的比賽比較合適?并說明理由;
(3)若按力量:速度:耐力:柔韌:靈敏=1:2:3:3:1的比例折合成綜合分?jǐn)?shù),推選得分同學(xué)參加比賽,請通過計算說明應(yīng)推選哪位同學(xué)去參賽。
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