Question

【題目】綜合與探究

如圖（1），線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-12，4）（0，10），點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速向點(diǎn)A運(yùn)動；同時(shí)，點(diǎn)Q從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸的反方向以相同的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，ΔOPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象如圖（2）所示。

（1）求點(diǎn)P的運(yùn)動速度；

（2）求面積S與t的函數(shù)關(guān)系式及當(dāng)S最最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是S取最大值時(shí)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M為x軸上的點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，以點(diǎn)O,P，M,N為頂點(diǎn)的四邊形地矩形，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的運(yùn)動速度為（長度單位、秒）；（2）ΔOPQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為 ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-10，5）；（3）N1(0,5)N2()

【解析】試題分析：

（1）求出AB的長，根據(jù)速度=，計(jì)算即可；

（2）由Rt△ADB∽Rt△PCB，可得，可得PC=2t，BC=t，推出OC=10﹣t，推出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2t，10﹣t），OQ=t，推出S=OQPE=×t（10﹣t），利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

（3）分兩種情形討論求解；

試題解析：

（1）作PC⊥OB于C，AD⊥OB于D，PE⊥OQ于E．

∵A（﹣12，4），B（0，10），

∴AD=12，OD=4，0B=10，

∴BD=6，

在Rt△ADB中，AB=，

由圖象可知，點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為6秒，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動速度為6÷6=（長度單位/秒）．

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動了t秒，則BP=OQ=t，

∵∠PBC=∠ABD，∠ADB=∠PCB=90°，

∴Rt△ADB∽Rt△PCB，

∴，

∴，

∴PC=2t，BC=t，

∴OC=10﹣t，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2t，10﹣t），OQ=t，

∴S=OQPE=×t（10﹣t），

∴S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+（0≤t≤6），

∵﹣＜0，

∴當(dāng)t=5時(shí)，S取得最大值，

此時(shí)﹣2t=﹣10，10﹣t=10﹣5=5，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣10，5），

綜上所述，△OPQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=﹣t2+5t（0≤t≤6），

當(dāng)面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣10，5）．

（3）如圖，

①當(dāng)PM1⊥x軸，PN1⊥y軸時(shí)，四邊形PM1ON1是矩形，此時(shí)N1（0，5）．

②當(dāng)PM2⊥OP時(shí)，可得四邊形PM2N2O是矩形，

∵直線OP的解析式為y=﹣x，

∴直線PM2的解析式為y=2x+25，可得M2（﹣12.5，0），設(shè)N2（m，n），

則有，

∴m=﹣，n=﹣5，

∴N2（﹣，﹣5），

綜上所述，滿足條件是點(diǎn)N1（0，5），N2（﹣，﹣5）．