Question

12．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值，若不存在，說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，直線MN交x軸于點(diǎn)D，E（t，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段ND上一點(diǎn)，當(dāng)△BNC的面積最大時(shí)，是否存在t，使∠EFC=90°？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線過(guò)點(diǎn)A、B可設(shè)該拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），代入點(diǎn)C的坐標(biāo)即可求出a值，從而得出拋物線的解析式；
（2）假設(shè)存在，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，根據(jù)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m，用含m的代數(shù)式表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，通過(guò)分割三角形求面積法即可用含m的二次函數(shù)表示出△BNC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題；
（3）結(jié)合（2）找出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥ND于點(diǎn)G．分點(diǎn)F在線段NG和DG上兩種情況求t的值，①當(dāng)點(diǎn)F在線段NG上時(shí)，可通過(guò)勾股定理求出t的最大值；②當(dāng)點(diǎn)F在線段DG上時(shí)，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)找出t的最小值．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴設(shè)該拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點(diǎn)C（0，3）代入y=a（x+1）（x-3）中得：
3=a×（0+1）（0-3），解得：a=-1，
∴該拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．
（2）假設(shè)存在．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)B（3，0），C（0，3）在直線y=kx+b上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，MN∥y軸，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，3-m）（0＜m＜3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3），
∴線段MN=-m²+2m+3-（3-m）=-m²+3m．
S_△BNC=$\frac{1}{2}$MN•OB=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_△BNC取最大值，最大值為$\frac{27}{8}$．
故存在m，使△BNC的面積最大，此時(shí)m=$\frac{3}{2}$，S_△BNC的最大值為$\frac{27}{8}$．
（3）假設(shè)存在．
由（2）可知，點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，分別代入y=-x+3，y=-x²+2x+3中，
得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥ND于點(diǎn)G．
①當(dāng)點(diǎn)F在線段NG上時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)N重合時(shí)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)最大，如圖1所示．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知：
CF²=$（\frac{3}{2}-0）^{2}+（\frac{15}{4}-3）^{2}$=$\frac{45}{16}$，EF²=$（t-\frac{3}{2}）^{2}+（0-\frac{15}{4}）^{2}$=t²-3t+$\frac{261}{16}$，EC²=（t-0）²+（0-3）²=t²+9，
在Rt△EFC中，CF²+EF²=EC²，即$\frac{45}{16}$+t²-3t+$\frac{261}{16}$=t²+9，
解得：t=$\frac{27}{8}$，即t的最大值為$\frac{27}{8}$；
②當(dāng)點(diǎn)F在線段DG上時(shí)，如圖2所示．

設(shè)FG=x（0＜x＜3），則DF=3-x，
根據(jù)同角的余角相等，得∠FCG=∠EFD，
∴△FCG∽△EFD，
∴$\frac{FG}{ED}=\frac{CG}{FD}$，即$\frac{x}{DE}=\frac{\frac{3}{2}}{3-x}$，
∴DE=$\frac{2}{3}$x（3-x）=-$\frac{2}{3}$$（x-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，DE取最大值$\frac{3}{2}$，此時(shí)對(duì)應(yīng)的t值最小，最小值為0．
綜上可知：當(dāng)△BNC的面積最大時(shí)，存在t，使∠EFC=90°，t的取值范圍為0≤t≤$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、分割圖形法求面積以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）利用分割圖形法求三角形的面積；（3）分情況尋找t的最值．本題屬于中檔題，（1）（2）相對(duì)簡(jiǎn)單；（3）有點(diǎn)難度，再解決該問(wèn)時(shí)，通過(guò)分段尋找臨界點(diǎn)，求出t值的最大與最小值，從而得出t的取值范圍．