Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓上一點，N是線段CB延長線上一點，過N作AB的垂線交AB于M，交AC的延長線于E，F(xiàn)是EN的中點．
（1）求證：CF是半圓的切線；
（2）若BC=BN=4，CF=5，求半⊙O的直徑．

Answer 1

解：（1）證明：連接OC，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠NCE=90°，
∵F是EN的中點，
∴CF=NF=EF=EN，
∴∠FCN=∠N，
∵MN⊥AB，
∴∠NMB=90°，
∴∠2+∠N=90°，
∵OC=OB，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠3+∠N=90°，
∴∠3+∠FCN=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是半圓的切線；

（2）∵BC=BN=4，CF=5，
∴CN=8，EN=2CF=10，
∵∠NMB=∠ACB=∠NCE=90°，
∴∠2=∠E，EC==6，
∴△ABC∽△NEC，
∴，
即，
∴AB=，
∴半⊙O的直徑為．
分析：（1）首先連接OC，由AB是半圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由F是EN的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得CF=FN，又由MN⊥AB，即可證得∠OCF=90°，即可得CF是半圓的切線；
（2）首先利用有兩角對應相等的三角形相似，證得△ABC∽△NEC，然后利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得半⊙O的直徑．
點評：此題考查了圓的切線的判定，直角三角形的性質，等腰三角形的判定與性質以及圓周角的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．