Question

如圖，BE，CD相交于點A，∠DEA，∠BCA的平分線相交于F．
（1）探求∠F與∠B，∠D有何等量關(guān)系？
（2）當(dāng)∠B：∠D：∠F=2：4：x時，求x的值．

Answer 1

解：（1）∠F=（∠B+∠D）；
∵∠DHF是△DEH的外角，∠EHC是△FCH的外角，∠DHF=∠EHC，
∴∠D+∠1=∠3+∠F ①
同理，∠2+∠F=∠B+∠4 ②
又∵∠DEA，∠BCA的平分線相交于F
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴①-②得：∠B+∠D=2∠F，即∠F=（∠B+∠D）．

（2）∵∠B：∠D：∠F=2：4：x，
∴設(shè)∠B=2α，則∠D=4α，
∴∠F=（∠B+∠D）=3α，
又∠B：∠D：∠F=2：4：x，
∴x=3．
分析：（1）由三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系可知∠D+∠1=∠3+∠F，∠2+∠F=∠B+∠4，由角平分線的性質(zhì)可知∠1=∠2，∠3=∠4，故∠F=（∠B+∠D）．
（2）設(shè)∠B=2α，則∠D=4α．利用（1）中的結(jié)論和已知條件來求x的值．
點評：本題考查來了三角形外角的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．